ANEXA 3.  Metoda funcţiilor arbitrare

            În [46], 1912, §92 şi §93, Poincaré şi-a pus problema explicării echiprobabilităţii care apare în anumite jocuri de noroc, cum ar fi ruleta. Ideea sa a fost reluată şi comentată apoi de Reichenbach (1935), Frechet (1952) şi, mai ales, Hincin (1953). În ultima lucrare se consideră că pe baza acestei metode „posibilitatea principală a unei prevederi ştiinţifice obiective a stabilităţii şi valorii numerice ale frecvenţelor reale este ferm stabilită. Pe viitor, lărgirea sferei de aplicaţii ale ei va putea întâmpina în fond, numai dificultăţi matematice de ordin tehnic, care în zilele noastre sunt, este drept, destul de importante” (citat din [3], pag. 245).

            Înainte de a comenta acest citat să vedem despre ce este vorba. Se ştie că ruleta este, în esenţă, o roată împărţită în 36 de sectoare circulare de câte  fiecare (sau ). Sectoarele sunt, alternativ, roşii şi negre. Dacă ruleta se opreşte pe negru, să spunem că avem un succes; în caz contrar, avem un eşec. Ne propunem să calculăm probabilităţile  şi  ale succesului (respectiv eşecului). Poincaré presupune, într-o primă aproximaţie, că putem neglija frecarea: roata capătă o viteză iniţială de rotaţie  pe care şi-o menţine până când este oprită brusc după T secunde. Unghiul parcurs este egal, evident, cu . Să presupunem că  este o variabilă aleatoare continuă, având o densitate de repartiţie f despre care nu mai este nevoie să presupunem nimic. Atunci densitatea de repartiţie a unghiului  este . Admiţând că ruleta pleacă tot timpul din aceeaşi poziţie şi că primul sector, în sens trigonometric, care apare este cel roşu, avem (notând ):

,

unde .

Analog

Rezultă:

Se ştie însă (vezi de exemplu [2], pag. 417, pr.8) că dacă , ultima cantitate converge la 0.

            Să considerăm acum un model ceva mai apropiat de realitate. Viteza iniţială,  este uniform frânată de o forţă de frecare. Deci , unde k este un coeficient de frecare. Presupunem că roata este lăsată până se opreşte singură. Acest lucru se va întâmpla când , deci la timpul . Unghiul parcurs după acest timp va fi egal cu . Notând acest unghi cu A, avem

şi, analog, .

            Notând , rezultă:

- .

            Vom arăta că dacă coeficientul de frecare tinde spre 0 (roata este bine unsă), atunci . Demonstraţia se va baza pe următorul rezultat:

Lemă.

1. Fie  un şir monoton de numere pozitive. Atunci:

.

2. Fie  o funcţie continuă şi  o diviziune a intervalului . Fie  şi .

Atunci, dacă şirul  este monoton şi , rezultă .

3. Fie  o densitate de probabilitate şi  o diviziune a lui R. Fie  şi  cu aceeaşi definiţie ca la 2., dar suma se extinde pentru toţi . Dacă presupunem că  este un şir monoton sau unimodal (creşte până la un  şi apoi scade), rămâne valabilă concluzia de la punctul 2.

            Demonstraţie.

1. Să admitem că  este crescător. Atunci

 (termenii se reduc doi câte doi)

2. Fie  astfel încât  (teorema Lagrange !). Fie  cu proprietatea că  ( f este uniform continuă !) şi , norma uniformă a lui f.

            Atunci

            Să presupunem, ca să facem o alegere, că şirul  este descrescător . În această situaţie norma diviziunii este  (altfel ar fi ) şi, dacă presupunem că , expresia E este mai mică decât . Cum  este arbitrar, demonstraţia este încheiată.

            Să remarcăm că, dacă familia  era unimodală, demonstraţia nu se schimba prea mult. Estimarea 1. care a fost esenţială devenea:

, unde  este acel indice pentru care segmentul  are lungime maximă.

3. Se ştie că pentru orice funcţie măsurabilă Lebesgue şi cu proprietatea că  şi pentru orice  există o altă funcţie continuă g care este nulă în afara unui interval  şi cu proprietatea că . După majorarea

,

unde diviziunea a fost renumerotată, cu adăugarea eventuală a punctelor a şi b, restul devine evident. QED.

            În cazul nostru, dacă coefeicientul de frecare         ; dar ultima cantitate este exact norma diviziunii dată de punctele , care apare în modelul propus. Deoarece, în plus  formează un şir descrescător, rezultă că suntem în condiţiile Lemei demonstrate (3.) şi deci .

            Ce se poate spune despre valoarea explicativă a acestei metode ?

            Am demonstrat că  şi  tind spre  dacă T tinde la  sau coefeicientul de frecare tinde la 0, ceea ce spune cam acelaşi lucru: roata trebuie lăsată să se învârtească cât mai mult. Dar în ce măsură explică aceasta echiprobabilitatea rezultatelor ruletei ? Dacă abaterea de la  rămâne foarte mare până când T este, de exemplu, de ordinul secolelor, explicaţia devine, cu bunăvoinţă apreciind, iluzorie. În definitiv, am căzut în aceeaşi capcană ca von Mises: postulăm relevanţa unei limite la un experiment real. Pentru fiecare T, în cadrul modelului simplificat al lui Poincaré, ne putem imagina o repartiţie a vitezei iniţiale pe care crupierul o imprimă roţii care să aibă şi densitatea continuă, dar să ne facă figura că  şi .

            În al doilea rând, şi acest lucru este poate mai important, am încercat să explicăm o ipoteză probabilistă prin alta, de asemenea probabilistă. S-ar părea că am împins problema undeva în spate, într-un plan mai profund şi că explicăm o probabilitate testabilă empiric prin alta neverificabilă. Oare chiar nu se poate reduce o probabilitate la altceva ?  Reichenbach consideră, totuşi, în /49/ că metoda furnizează o explicaţie e echiprobabilităţii deoarece am demonstrat ceva tare din ceva mai slab. Se pare că nu l-a deranjat trecerea la limită.

            Pentru ca o trecere la limită să aibă cât de cât un sens empiric ar trebui să spunem ceva şi despre viteza de convergenţă la limita respectivă. Ce ipoteze suplimentare să mai introducem pentru aceasta ? ne vom situa în cazul modelului lui Poincaré, căci altfel estimările devin dificile.

            Să admitem că densitatea f este continuă şi concentrată pe un interval închis  cu . Nu pare o restricţie nenaturală: în natură, majoritatea fenomenelor sunt, la o primă aproximatie continui şi este plauzibil de presupus că  (dacă viteza de rotaţie a roţii este prea mică (de ordinul miimilor de grad pe secundă) e normal să cerem alt joc, bănuind pe crupier de cârdăşie cu banca şi intenţii necinstite) şi că există o limită fizică a vitezei de rotaţie pe care o poate imprima ruletei. Până acum nu am avansat nici un pas pe drumul estimării vitezei de convergenţă. Dar să admitem că cunoaştem modulul de continuitate al densităţii f (adică, pentru fiecare  ştim să calculăm  cu proprietatea că     ). Atunci, deoarece ,  şi , dacă vrem ca , trebuie ales , deoarece  nu poate depăşi valoarea . Deci  sau .

            Să presupunem acum că f este, în plus unimodală (are un singur maxim) şi maximul ei este M. Atunci este uşor de văzut că .

            Rezultă că . Dacă vrem ca această valoare să fie mai mică decât , trebuie ca . În cazul acesta nu mai este nevoie ca f să fie continuă cu suport compact: estimarea  (1) este valabilă pentru orice densitate f unimodală.

            Un caz particular de funcţii al căror modul de continuitate poate fi continuitate sunt cele Lipschitziene, adică având proprietatea că există o constantă C astfel ca . Dacă densitatea f este Lipschitziană de modul C, atunci

(deoarece )

; deci (???? – pag. 142) ca ultima cantitate să fie mai mică decât , trebuie ca . (2)

            În particular acesta este cazul dacă se presupune că densitatea f este derivabilă şi cu derivată mărginită.

            Să considerăm ca divertisment cazul cel mai studiat:  repartiţia normală centrată în 0 şi de dispersie . Calculând maximul primei derivate găsim . Cât despre M, el este egal cu . Folosind estimarea (1), găsim , iar folosind pe (2) găsim  deoarece putem lua  ??? se ştie că în cazul unei variabile normale probabilitatea abaterilor cu mai mult decât  de la media m este sub 1%. Deşi pentru anumite valori ale lui ??? prima estimare dă rezultate superioare, a doua nu depinde de ???.

            O altă problemă celebră în care se poate explica stabilitatea probabilităţii, remarcată experimental prin considerente apropiate de cele demai sus este problema acului lui Buffon (1776). Un ac de lungime  se aruncă pe o reţea de drepte echidistante situate la distanţa l una de alta. Se cere calcularea probabilităţii ca acul să intersecteze vreuna din dreptele reţelei.

            Să considerăm un sistem rectangular de axe xOy în care dreptele reţelei să fie . Putem răspunde la întrebarea dacă acul intersectează vreuna din dreptele  cunoscând doar doi parametri: ordonata mijlocului acului  şi unghiul format de ac cu dreptele . Atunci, după cum se vede în figura alăturată, acul intersectează una din drepte dacă şi numai dacă  sau dacă .

            Să admitem acum că  şi sunt variabile aleatoare independente având densităţile de repartiţie , respectiv . Probabilitatea căutată este

deoarece cele două evenimente sunt incompatibile . Remarcând că aceasta reprezintă probabilitatea suprafeţelor haşurate din Fig.2, găsim că

.

Acest rezultat nu ne spune prea mult tocmai pentru că am lucrat în ipoteze prea generale. În teoria probabilităţilor geometrice se fac presupuneri suplimentare (vezi, de exemplu /37/) din care reyultă că atât  cât şi  sunt repartizate uniform pe intervalele  respectiv . Cu aceste

presupuneri suplimentare este imediat că . Dacă , rezultă că .

            Acest rezultat se poate preta la o verificare empirică. Desenăm pe o foaie de carton paralele echidistante situate la 10 cm una de alta şi aruncăm la întâmplare un ac de 5 cm peste ea. Facem experimentul de multe ori; ar trebui ca inversul frecvenţei relative al cazurilor de intersecţie să oscileze pe lângă . La o primă vedere, s-ar părea că nu trebuie să fim prea optimişti asupra rezultatului, deoarece probabilitatea teoretică a fost obţinută în nişte ipoteze foarte restrictive. Nu este aşa. Este, din contră, surprinzător că estimările lui  făcute pe această bază s-au dovedit foarte bune !  Tabelul următor este edificator:

            (Luat din /37/, pag. 83). Valoarea nr. 5 (Lazzerini) este chiar suspectă; făcând abstracţie de ea, chiar, intervalul în care au oscilat frecvenţele este sub .05.

            Ce se întâmplă de fapt ? De ce repartiţiile reale din natură atribuie ariei haşurate din Fig. 2 valori atât de apropiate de  ? Explicaţia trebuie să fie că în ipoteze foarte generale asupra lui y partea sa zecimală tinde să fie uniform repartizată. Ipoteza că  este şi el repartizat uniform pe intervalul  nu mi se pare atât de nenaturală,căci este de aşteptat ca aruncând un ac, unghiul să nu aibă vreo direcţie privilegiată. Din contră, nu este natural să admit că mijlocul său să nu aibă vreo preferinţă, o zonă privilegiată în care să cadă. Dacă arunc o piatră la întâmplare, este sigur că ea va cădea undeva în interioruk cercului având ca centru locul în care mă aflu şi o rază de 100 m). De aceea este mai natural să admit că y este o variabilă aleatoare repartizată  cu o anumită medie m şi dispersie . În acest caz conjectura se verifică: dacă  nu este exagerat de mic,  este aproape uniform repartizat, după cum se arată în următorul rezultat splendid, demonstrat de S. Teleman (comunicare personală):

            Teoremă. Dacă , atunci  are de asemenea o repartiţie de probabilitate absolut continuă cu densitatea  având proprietatea că

            Demonstraţie. Avem

.

Deoarece ultima serie este uniform şi absolut convergentă, se poate deriva termen cu termen şi găsim densitatea . Funcţia f are sens pentru orice ; ea este, în plus, periodică şi are perioadă 1. Am notat . Să notăm

 şi .

Evident că dacă vom reuşi să demonstrăm estimarea din enunţul teoremei pentru F va fi suficient deoarece f se obţine din F modificând numai argumentul x.

            Funcţia F este periodică şi are perioada . Fiind şi continuă, se poate dezvolta în serie Fourier , unde coeficienţii Fourier  sunt daţi de expresia

*

= (deoarece ulrima integrală este egală exact cu ).

De aceea  şi astfel

    q.e.d.

            Probabil că acest rezultat se poate extinde şi la alte clase de repartiţii. Trebuie însă căutate alte metode, căci în calculul coeficienţilor s-a folosit esenţial forma exponenţială a densităţii.

            Dacă, de exemplu dispersia , atunci abaterea densităţii f de la 1 este de ordinul lui ; pentru , ea devine , ceva extraordinar de mic. De aceea experimentările practice au confirmat probabilitatea calculată teoretic: abaterile densităţii lui y de la cea uniformă sunt neglijabile.

            O ultimă observaţie, înainte de a încheia această Anexă. Maxima lui von Mises, susţinută de Popper, că nu se pot trage concluzii probabiliste decât din premise probabiliste mi se pare adevărată când se referă la experimentele clasice de probabilităţi pe care le-am studiat mai sus. În cazul observării unui fenomen care se manifestă sub forma unui şir aleator (în sensul că nu-i cunoaştem legea) de numere, şi asupra căruia nu putem interveni, poate că lucrurile nu stau chiar aşa. Mă refer la următorul exemplu ideal: pe o masă de biliard se mişcă, fără frecare şi reflectându-se de pereţii mesei, o minge. Între reflectările de pereţii mesei, ea se mişcă rectiliniu şi uniform, cu o viteză suficient de mare ca cel mult la 10 sec. să se producă o ciocnire. Să presupunem că noi nu putem vedea acest lucru: un aparat de fotografiat fotografiază din 10 sec. în 10 sec. poziţia bilei la timpul respectiv, iar noi nu putem interpreta decât fotografiile primite. Se demonstrează în teoria ergodică faptul că dacă raportul între viteza iniţială pe axa Ox şi cea pe axa Oy nu este raţional, atunci frecvenţele apariţiei bilei într-o anumită zonă a mesei de biliard vor fi, la limită, proporţionale cu aria zonei. Cu alte cuvinte, dacă am interpreta statistic fotografiile primite, vom fi constrânşi să deducem că punctul din fotografie este realizarea unui şir de variabile aleatoare independente şi uniform repartizate pe spaţiul mesei de biliard (Vezi demonstraţia în Freiburger şi ???).

            Şi totuşi, nu esre aşa ! fenomenul este cât se poate de determinist.

            Poate că de multe ori, o abordare probabilistă este numai o soluţie provizorie în ştiinţă.

(*) În general, , 1)  este unimodală; 2) ; 3)