§2.3. FRECVENTALISMUL

            Se ştie că, încă de la începutul teoriei probabilităţilor au fost două căi de a aborda teoria: prima, cea studiată în §2.1, a probabilităţilor apriori, date prin considerente de simetrie se baza pe supoziţia egal posibilului. Cealaltă, a cărei istorie merge până la Huygens şi Jean de Witt, provine din statistică. Ea se bazează pe probabilităţile aposteriori: ca să estimezi probabilitatea apariţiei lui „6” la un zar adevărat, nu poţi face altfel decât să arunci zarul de un număr foarte mare de ori. În secolul XIX, prima metodă a avut cea mai mare autoritate datorită contribuţiei decisive a lui Laplace.

            Dar, unul din punctele slabe ale definiţiei lui Laplace a fost cercul vicios dat de expresia „egal posibil” şi de a pretinde apoi că a dat o definiţie bună. Cournot (1843), C. Boole (1854), J. Venn (1866) au întrebat cum este posibil să dovedeşti că un zar nu este falsificat altfel decât aruncându-l de un număr mare de ori ? De aceea, J. Venn a fost primul care a îcercat să inverseze ordinea, definind probabilitatea în termeni de frecvenţă relativă ([63’], 1866). A apărut o dificultate de următorul gen: ca să definim probabilitatea ca limită a frecvenţei relative, trebuie să ne restrângem la şirurile (de 0 şi 1 pentru simplitate) care au proprietatea că  există, unde  este frecvenţa relativă a apariţiei unui „1” în primii n termeni ai şirului rezultatelor experimentului. Dar nu toate şirurile de acest fel sunt bune. Nimeni nu va pretinde că dacă la o aruncare cu banul apare şirul 00110011001100110011.... aruncarea a fost cinstită, deşi limita frecvenţei relative (sau limita Venn, cum se mai numeşte) există şi este egală cu . Ar trebui studiate numai şiruri „aleatoare”, care corespund unor aruncări reale. El nu a putut rezolva problema definirii obiectelor de care avea nevoie.

Într-o lucrare foarte interesantă ([63], 1888) Venn critică interpretarea subiectivistă extremistă a noţiunii de probablitate, arătând că, deşi probabilitatea are şi o latură subiectivă, ea este derivată din considerente de frecvenţe (de obicei). De Morgan (1847) considera probabilitatea soră a logicii, care ar trebui să studieze gradul de încredere al inferenţei din premise faţă de care exită o încredere parţială. Iar Donkin (1851) considera evident că „obiectul teoriei probabilităţilor este cantitatea de încredere (quantitz of belief)”. Venn arată că gradul de încredere în ceva nu este un concept cu care să poată lucra ştiinţa deoarece variază de la individ la individ, şi chiar la acelaşi individ în perioade de timp diferite. În plus, nu este măsurabil; chiar dacă ar fi măsurabil, studierea lui ar fi de domeniul psihologiei. Făcând paralela cu logica, probabilitatea nu este gradul de încredere al fiecăruia, ci gradul de încredere pe care ar trebui să îl aibă o persoană raţională faţă de o anumită propoziţie; iar dacă aprofundăm, o persoană raţională ar trebui să aibă un nivel de încredere în ceva egal cu probabilitatea lui obiectivă. La oamenii concreţi, nivelul de încredere nu este dat numai de frecvenţa statistică, ci şi de alţii care pentru o teorie riguroasă nu sunt relevanţi: „Nu are rost să spunem ce cred oamenii, noi vrem să ştim ce au dreptate să creadă; iar aceasta nu se va putea tranşa fără a apela la fenomenele însăşi” ([63], §14). De aceea, „partea subiectivă a probabilităţii, deşi foarte interesantă... pare un simplu apendice al celei obiective, care nu are o bază solidă”. Întotdeauna când un om raţional pariază 5 contra 1 că nu va cădea „6” la o aruncare cu zarul, nu deoarece  este convins că va cădea „6” şi  este convins de contrariu, ci deoarece el ştie că în serii lungi de aruncări „6” va apărea aproximativ într-o şesime din cazuri. Ce are a face acest lucru cu un pariu la o singură aruncare contingentă ? „Aceasta nu este decât traducerea în practică a convingerii noastre asupra a ceea ce se petrece în serii mari de aruncări” – răspunde Venn ([63], §22). Pur şi simplu este vorba de o translatare a regulii care este justificată la serii lungi în cazul unui singur pariu. Este un lucru relativ şi depinzând de punctul de vedere al evenimentului izolat sau al colectivului. Iată un alte exemplu ([63], §25): „Ştiu că voi muri în una din cele 7 zile ale săptămânii. Credinţa mea că voi muri într-o duminică este, deci, . Evenimentul nu admite, în mod evident nici o repetare; totuşi, nu credem cu toţii la fel ?... Este adevărat că nu pot muri decât o dată, dar aparţin unei clase în care moartea apare frecvent şi opinia mea se formează după experienţa acestei clase. Dacă mi-aş asigura viaţa pentru 1000 lire, aş considera corect să cer 7000 dacă societatea declară că nu va plăti decât decesele duminicale. Din puctul meu de vedere, poate că nu ar fi prea echitabil, dar dacă toţi ar fi asiguraţi confoem acestui principiu, pentru societatea de asiguraţi conform acestui principiu, pentru societatea de asigurări nu ar fi nici o diferenţă”.

            Cel care a făcut încercarea temerară de a construi o teorie a probabilităţilor pe baze frecvenţialiste a fost von Mises (1892 - 1953). Importanţa teoriei, creată de el este foarte mare prin lupta de idei pe care a generat-o privind atât modelarea matematică a conceptului de probabilitate cât şi interpretarea lui epistemologică. Astăzi, matematicienii nu mai folosesc, în general, formalizarea lui, deşi încă mai există susţinători ai unor „neofrecvenţialisme” mai sofisticate (Salmon, Connover).

            Din 1919 când a apărut prima versiune a lucrării fundamentale „Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung”, von Mises nu a încetat să îşi perfecţioneze teoria ajungând ca ediţia [38’], apărută post mortem, să conţină aproape 700 de pagini. La fundamentarea matematică riguroasă a frecvenţialismului a contribuit aproape exclusiv şcoala germană de probabilităţi: K. Dörge ([49], 1932), E. Tornier ([49], 1933), E. Kamke ([49], 1932) şi, mai ales marele statistician A. Wald ([49], 1937 şi [38’], 1947).

            Şcolile de matematică franceză, anglo-saxonă, sovietică au respins de la bun început frecvenţialismul. Pentru primii, teoria este oribilă matematic; pentru subiectiviştii englezi, conceptul de probabilitate obiectivă, asimpototică, limită a frecvenţelor era respins ca nerelevant empiric şi insuficient în aplicaţii.

            Noi vom studia teoria aşa cum apare în [38’] – care este cea mai elaborată formal, matematic.

            Von Mises a fost primul care a trasat o linie de demarcaţie clară între teoria matematică a probabilităţilor şi problema aplicării teoriei. „Deoarece prima sarcină a oricărui demers ştiinţific este limitarea scopului, noi ne vom limita la elaborarea unei teorii a evenimentelor repetabile”. Se precizează clar „nu avem în vedere probleme ca „ care este probabilitatea ca Iliada şi Odiseea să aibă acelaşi autor ” sau estimarea probabilităţii de adevăr a legendelor biblice şi nici măcar nu ştim să dăm un sens unei întrebări ca: „Care este probabilitatea ca Anglia să intre în război cu Egiptul” ”. Ceea ce are în vedere, în schimb, este introducerea unui concept matematic care să aibă aceeaşi structură cu celelalte concepte fundamentale din orice domeniu unde se foloseşte modelarea matematică. Teoria probabilităţilor nu este şi nu trebuie să fie, susţine von Mises, matematică pură. Ea trebuie să fie o disciplină matematizată, aşa ca mecanica, dar nu un domeniu al matematicii ca algebra sau analiza. (Punctul acesta de vedere – teoria probabilităţilor ca o ştiinţă a naturii – este respins astăzi in corpore de matematicieni. „Nu este nici o problemă neclară privind probabilitatea” – se aude foarte des din lumea noastră matematică. „Ea este o măsură cu masa totală egală cu 1” – Mai mult, este refuzat chiar dreptul la existenţă al teoriei; teoria probabilităţilor ar fi un subdomeniu al teoriei măsurii. Bourbaki nu a scris nici un tratat de probabilităţi.) Consider că din punct de vedere epistemologic poziţia lui von Mises este corectă şi responsabilă. Paralela cu mecanica mi se pare relevantă.

            Modelul avut în vedere de el în deifiniţia probabilităţii a fost viteza din mecanica clasică. Ea este definită printr-o limită . Probabilitatea se defineşte relativ la un colectiv prin limita frecvenţelor relative când n, numărul probelor, tinde la infinit. Nu are sens să ne întrebăm dacă aceste limite există – continuă el – deoarece teoria pleacă exact de la această supoziţie. Fără viteză nu ar fi posibilă mecanica. Dacă viteza există în realitate, nimeni nu poate şti sau verifica. Poate că mai degrabă nu există şi modelarea mişcării prin continuum nu este corectă. Dar, dacă noţiunea de viteză nu ridică obiecţii, de ce ar fi ele ridicate de noţiunea de probabilitate ca limită a frecvenţelor ?

            Conceptul de bază al teoriei lui von Mises este cel de colectiv. Dacă S este o mulţime oarecare de etichete (label), şirul  se numeşte colectiv dacă: S este o familie de părţi din S (corp de mulţimi); G este o familie de „place selections” închisă la anumite operaţii grupale; pentru orice mulţime S limita şirului  există şi se notează cu , unde  este frecvenţa termenilor din şirul K aparţinând mulţimii A: ; orice „place selection”,  produce un nou colectiv K’ cu proprietatea de convergenţă anterioară. Wald [62’] a demonstrat consistenţa noţiunii.

            După Mises, probabilitatea nu are sens decât dacă se specifică un colectiv de evenimente în care evenimentul a cărui probabilitate se caută apare cu o anumită fercvenţă. Sarcina teoriei probabilităţilor este de „a calcula repartiţii de probabilităţi în colective derivate din repartiţiile date în colectivele iniţiale”. Apare însă o problemă: aceluiaşi eveniment i se pot circumscrie mai multe probabilităţi, depinzând de colectivul în care este gândit. De exemplu: P(x moare mâine) este una dacă îl gândesc pe x ca făcând parte din categoria cetăţenilor de 42 de ani, alta dacă se referă la cei între 40-45 ani, alta dacă se referă la bărbaţi de 42 de ani, etc. În exemplul acesta dat de von Mises ([??], pag.13) este deja ceva neriguros: un colectiv se presupune infinit, iar numărul cetăţenilor unui stat este finit. Mises comnetează în aceeaşi pagină: „aici aplicăm teoria la o populaţie mare, dar finită”. Or, la o populaţie finită nu mai este nici o teorie de aplicat căci axioma limitei îşi pierde sensul; probabilităţile devin frecvenţe relative care sunt variabile. Iar apropos de „mare”, Good remarca pe bună dreptate ([20]): „Mises a spus că şirurile trebuie să fie lungi (ca să merite denumirea de colectiv) dar nu a spus cât de lungi, la fel ca un geometru care spune că punctele trebuie să fie mici pentru a se numi puncte, fără să spună cât de mici. Statisticianul este ca un desenator cu un creion bont: el vrea să ştie cât de lung trebuie să fie şirul”. Keynes, comentând la rândul lui definiţia frecvenţialistă a probabilităţii prin „long run frequency”, scria [20] că „In long run we shall be all dead”.

            Apoi s-a reproşat că ceea ce se întâmplă la limită nu are nici o relevanţă pentru estimarea probabilităţii unui eveniment contingent: că, de exemplu, un şir absurd de tipul „ de 1 şi apoi 0” este permis în teoria sa ca un colectiv bine definit cu , , faţă de orice place selection; că în fizică am dori ca  să însemne imposibilitate fizică, iar dacă un fenomen apare de  ori, el este mai necesar fizic decât rotaţia pământului în jurul soarelui; nu vor f, cu siguranţă, mai mult de  rotaţii ale pământului în jurul axei sale până la dispariţia sistemului solar. (Vârsta universului este apreciată la cu mult mai puţin de  secunde !)

            Mises a sesizat că, în unele cazuri probabilitatea sa este o măsură pe o anumită algebră, dar a considerat faptul neesenţăal. Pentru el, abordarea measuristă (Kolmogorov, etc) nu este satisfăcătoare deoarece nu numai probabilitatea ci şi masa, sarcina electrică. ????  Este adevărat că este foarte comod din punct de vedere matematic să foloseşti o teorie gata făcută, dar „aceasta este numai o abordare parţială”. Se constată în teoria probabilităţilor – spune Mises - „tendinţa de a lucra partea matematică foarte riguros, fără a se manifesta interes suficient asupra a ceea ce este mai important: tratarea teoriei probabilităţilor ca o ştiinţă în sine, nu ca un subdomeniu al teoriei măsurii”.

            Cramér i-a reproşat în [11’] că „definiţia lui von Mises este o mixtură de empiric şi teoretic, de obicei evitată în ştiinţa matematică modernă. Este ca şi cum ai defini punctul ca fiind limita unui şir de pete de cretă din ce în ce mai mici pe o tablă neagră.” Răspunzând, Mises că „mixtura de elemente teoretice şi empirice este de neînlăturat în orice teorie matematică. În teoria elasticităţii se introduc tensiuni şi stressuri care, din punct de vedere matematic sunt tensori de ordin II. Totuşi, teoria elasticităţii nu este analiză tensorială. Dar observaţia lui Cramér conţine şi ceva adevărat: trecerea de la observaţie la modelarea matematică nu poate fi complet matematizată, nu este o concluzie logică, ci mai degrabă o problemă de alegere”([38’], pag. 32).

            Mises polemizează cu Kolmogorov mai ales în ceea ce priveşte definiţia conceptului de independenţă. Pentru primul, nu se poate vorbi de evenimente independente, ci despre colective independente. Pentru ultimul, este o ipoteză privind probabilitatea conjuncţiei a două evenimente (sau, mai general, a două - algebre de evenimente: A este independent de B dacă ). „Definiţia lui Kolmogorov a independenţei pare mai degrabă o generalizare a unui concept care are sens. Ea duce la inferenţe care au foarte puţin de a face cu semnificaţia general acceptată a termenului pe care se presupune că o reproduce.” ([38’], §1.10).

            În Anexa 2 din lucrarea citată, Mises rezumă foarte clar punctul său de vedere astfel:

a) teoria este frecevnţialistă;

                        b) orice afirmaţie despre probabilitatea unui eveniment trebuie să fie, măcar pricipial

verificabilă;

                        c) pentru measurişti frecvenţa nu este decât ceva derivat, neesenţial (afterthought).

            Din păcate, deşi el încearcă să facă din teoria probabilităţilor o teorie aplicată, ceva de mijloc între „consumatorul de statistică, căutând reţete, formule gata făcute şi puriştii pentru care probabilitatea este o ramură a teoriei măsurii sau o măsură pe algebre Boole şi care resping frecvenţa ca fiind groaznică matematic” (Anexa 2 din [38’]), teoria lui a căzut mai ales din greutăţile conceptuale formidabile în aplicarea ei. Kolmogorov arăta (citat din [31], pag.23) că: „ipoteza caracterului probabilistic al experienţelor, adică ipoteza că frecvenţele au tendinţa de a se grupa în jurul unui număr constant este corectă ca atare... numai dacă se păstrează anumite condiţii care nu se pot menţine un timp nelimitat şi cu o precizie nelimitată. De aceea, trecerea exactă la limită  nu poate avea o semnificaţie reală. Enunţarea principiului stabilităţii frecvenţelor prin folosirea unei asemenea treceri la limită cere difinirea modurilor admise de găsire a şirurilor infinite de experienţe care, iarăşi nu poate fi decât o ficţiune matematică. Toată această acumulare de noţiuni ar merita să fie supusă unei analize serioase numai dacă s-ar obţine ca rezultat construcţia unei teorii atât de specifice, încât fundamentarea ei riguroasă să se dovedească imposibilă pe alte căi”.

            Pentru O. Onicescu [41], teoria lui von Mises merită să fie păstrată, dar nu atât ca o teorie a probabilităţilor, cât ca una a colectivelor statistice. În alt loc ([42], pag.439) consideră metoda sa ca fiind uneori acceptabilă pentru a trece de la frecvenţe la probabilităţi: „Ştim pentru multe experimente cum să trecem de la frecvenţe la probabilităţi şi să conferim ultimelor caracterul (indubitabil) existenţial al primelor. Dar de fiecare dată trebuie să ştim obiectul a cărui existenţă este asertată de probabilitate. În cazul urnei, acest obiect este chiar structura ei. … Teoria lui von Mises a sugerat acest procedeu pentru orice domeniu unde experimentele efectuate asupra unor colective stabile ar fi trebuit să reveleze prin frecvenţele apărute, structura lor subiacentă…Modelul său este satisfăcător pentru o largă clasă de mulţimi statistice cărora reuşeşte să le confere probabilităţi”.

            Argumente metodologice asemănătoare cu acelea ale lui Kolmogorov aduc şi P. Suppes (1970): fundamentarea statisticii pe baze frecvenţialiste este prohibitiv de complicată. În plus, teoria, deşi se consideră obiectivistă, dă dovadă de un mare grad de arbitrar în tratarea problemei „evenimentului aleator unic”, anume în fixarea „clasei de referinţă” pentru acel eveniment.

            Un alt reprezentant de frunte al frecevnţialismului este H. Reichenbach, mai ales în cartea sa [49], 1935. Teoria lui von Mises completată de Reichenbach l-a influenţat pe von Neumann în axiomatizarea mecanicii cuantice. Cartea [49] este, probabil, cea mai riguroasă din punct de vedere filosofic; din păcate nu şi matematic. Aici este prezentată şi logica probabilistă a lui Reichenbach, care a fost mult discutată. Pentru el, propoziţia  este o implicaţie de un tip sui generis, o aserţiune privind apartenenţa unor obiecte la o clasă. Toate probabilităţile sunt condiţionate.  înseamnă de fapt , unde B se subînţelege.

            Reichenbach a încercat să îl corecteze pe von Mises din două puncte de vedere. În primul rând, conceptul fundamental este de probabilitate condiţionată ; în al doilea, a renunţat la ipoteza hazardului (regellosigkeit) ca fiind de nesusţinut logic.

            Din punct de vedere formal, structura unei aserţiuni probabilistice este aceea a „unei implicaţii generale privind aparteneţa elementelor la clase” (pag.37). Conceptul central este implicaţia probabilistă notată . Propoziţia „ ” se citeşte „ implică probabilistoc de grad p că ”. În ştiinţă, x se poate gândi ca premiză, cauză, condiţie, context experimental, iar y ca rezultat, efect. Notaţia prescurtată a propoziţiei de mai sus este .

            Studiul logic al implicaţiei probabiliste îl duce la o axiomatizare a calculului probabilităţilor mai generală decât a lui Kolmogorov (pentru că se referă la probabilitatea condiţionată, pentru că este numai aditivă şi nu -aditivă şi, în sfârşit pentru că nu este legată de o viziune ansamblistă ca axiomatizarea lui Kolomogorov) dar care nu a fost adoptată de matematicieni (tocmai pentru că era prea generală) ci numai de logicieni şi filosofi. Sistemul său axiomatic a apărut cu un an înaintea celui kolmogorovian (Ayiomatic der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Math. Zs., 34, 568 – 619, 1932). El este prezentat în Anexa 4.

            Ca epistemolog, Reichenbach nu putea fi mulţumit cu prezentarea unui sistem axiomatic. Crearea lui este numai un prim pas în lămurirea problemei. Mai importantă este interpretarea lui intensivă (inhaltliche) căci „este foarte greu de înţeles semnificaţia legilor calculului probabilităţilor fără o interpretare intensivă a conceptului de probabilitate” (pag. 80). Din mulţimea interepretărilor posibile, se decelează două mai importante:

            - Interpretarea frecvenţială. Probabilitatea este limita frecvenţelor parţiale, dacă aceasta există: . Această interepretare îl duce la un sistem axiomatic mai particular, o relaizare a celui general în lumea şirurilor. Şirurile tip pentru care are sens să se vorbească de probabilitate în interpretarea ei ca limită, le numeşte perechi normale de şiruri, sau şiruri normale (cuvântul este luat de Borel, 1925, care îl folosea în alt sens). Şirurile normale sunt o condiţie mai slabă decât „regellosigkeit”-ul lui von Mises. În principiu, lor nu li se cere decât să fie libere de influenţa predecesorului şi, dacă sunt împărţite în k subşiruri, numărând din k în k, fiecare din subşirurile obţinute să fie libere de influenţa predecesorilor. Definiţia şirurilor normale este şi mai complicată decât axioma hazardului a lui Mises; în plus, tratarea matematică este imposibilă pentru un matematician care are bunăvoinţa să încerce să priceapă despre ce este vorba.

            Interpretarea geometrică (astăzi am spune asamblistă): , unde m este o măsură finit aditivă pe un corp de părţi ale unei mulţimi generale E. La kolmogorov se cere ca măsura să fie -aditivă, deci o condiţie mai tare.

            Dacă din punct de vedere teoretic, matematic, oricare din cele două interpretări este la fel de justificată, nu la fel stau lucrurile din punct de vedere al aplicării teoriei, subliniază autorul. „Trebuie să ne întrebăm care interpretare este implicată când se fac aserţiuni probabuilistice în ştiinţă sau viaţa de zi cu zi” (pag. 326). Iar această interpretare i se pare neapărat cea frecvenţială care, astfel, ar fi primară din punct de vedere logic. „Nu pot exista dubii că aceasta este cea frecvenţială. Când se zice că probabilitatea de a lovi o ţintă este p ... se înţelege o asertare de frecvenţă, nu geometrică. Se poate argumenta că probabilitatea de lovire a ţintei este dată de un raport între două măsuri, dar, din punct de vedere geometric este absolut indiferent cum se alege măsura ariei ţintei... În aplicarea teoriei la experimente practice funcţia de densitate nu mai este arbitrară, ci trebuie aleasă ca să se potrivească cu frecvenţele observate... Interpretarea frecvenţialistă este logic primară şi conţine semnificaţia reală a conceptului de probabilitate iar cea geometrică este numai o reprezentare analitică a raporturilor între frecvenţe. Izomorfismul probabilitate – măsură nu trebuie considerat identitate.”

            Criticând interpretarea subiectivistă (Keynes, 1921) conform căreia probablitatea este o estimare a gradului de încredere ataşat unei propoziţii, reichenbach arată că abordarea probabilităţii prin prisma evenimentului aleator unic este greşită: probabilitatea se referă numai la şiruri de evenimente. De fiecare dată când se vorbesşte de probabilitatea unui eveniment, se are în vedere tacit o clasă de referinţă. De exemplu „probabilitatea ca mâine să plouă” interpretată ad literam, nu are nici un sens. Dar „nu trebuie să ne lăsăm induşi în eroare de imprecizia limbajului obişnuit. Din contră, prima sarcină a unui demers filosofic este să facă riguroasă exprimarea” (pag. 328); se poate ataşa un sens obiectiv probabilităţii respective dacă de referim la anotimp, la presiunea atmosferică, nebulozitate, etc, aşa cum se procedează la birourile meteorologice. Dacă, totuşi, un marinar poate estima mai bine timpul probabil decât un institut meteorologic situat la sute de kilometri distanţă, aceasta nu schimbă situaţia că, principial problemele sunt statistice. De vină este, pur şi simplu faptul că nu putem avea statistici suficiente pentru toate previziunile de care avem nevoie.

            În epistemologia lui reichenbach, conceptul de probabilitate joacă un rol central. Din moment ce toate cunoştinţele noastre sunt probabile, când nici o lege a naturii nu se referă la natură, ci este o idealizare obţinută prin neglijarea unei infinităţi de factori, când aplicarea oricărei ştiinţe la previziunea realului se face întotdeauna făcând ipoteza unor anumitor raporturi ideale, deşi se ştie că raporturile reale nu coincid cu ele, înseamnă că nu se poate rezolva problema cunoaşterii „fără a se recunoaşte că în aplicarea legilor naturii la realitate nu se obţin niciodată propoziţii sigure, ci numai probabile”, deci fără a se lămuri conceptul de probabilitate. El apare în arenă o dată cu ştiinţa; probabilitatea intervine în cunoaşterea naturii numai „odată cu asocierea unei structuri ideale realităţii”. Ipoteza determinismului cauzal ar trebui formulată riguros sub forma „probabilitatea predicţiei se poate face arbitrar de aproape de 1” (pag. 10). Iar că acesta nu este cazul întotdeauna, arată relaţiile de nedeterminare ale lui Heisenberg care „dau o limtă superioară probabilităţii predicţiei. Aceasta înseamnă o formă mai generală de legitate naturală” (pag. 11).

            Ceea ce nu au înţeles filosofii – arată el – este că „nu se poate face o analiză logică a conceptului de probabilitate decât în legătură cu analiza aceluiaşi concept folosit în matematică. Abai aici el capătă o formă riguroasă necesară decelării structurii sale logice... De-abia un concept decelat suficient de precis se poate preta la o analiză filosofică riguroasă” (pag. 12). De aceea, el speră să realizeze o construcţie mulţumitoare atât logic cât şi matematic a calculului probabilităţilor şi a aplicării acestui calcul la realitate. Sarcina asumată este „de o extraordinară întindere epistemologică. Căci nu este vorba aici de un concept particular al vreunei discipline înguste, ci de un concept fundamental în cadrul căruia se petrece cunoaşterea naturii şi fără clarificarea căruia nu se poate aştepta o clarificare a problemei cunoaşterii. Nu este vorba de o problemă de matematică sau de fizică matematică, ci de ultimele noastre cunoştinţe: e vorba de întrebarea: ce sens au afirmaţiile noastre privind realitatea.”

            Ste natural că o lucrare cu asemenea ambiţii nu putea să treacă cu vederea problema aplicării teoriei la realitate, cum este acuzat von Mises şi ceilalţi matematicieni. „Atâta vreme cât privim Calculul probabilităţilor ca pe un simplu calcul, în care se operează numai cu formule, nu există nici o problemă a asertărilor de probabilitate (a asignării unei probabilităţi unui eveniment, n.n.). Dar ar fi o dovadă de miopie dacă am refuza problema ca fiind fără sens” (pag. 82). Din moment ce matematicianul a optat pentru o interpretare intrinsecă (inhaltlich) a conceptului (fie frecvenţialist, fie measurist n.n.) apare şi problema: cum se poate decide într-un caz particular asupra unei asignări de probabilitate. Din contră, partea cea mai grea nu este cea pur matematică, ci a aplicării teoriei. Problema anunţată se compune din două complexe probleme: cea a sensului probabilităţii (Sinnproblem) şi cea a adecvării (Geltunasproblem). Ultima răspunde la întrebarea „Cu ce drept considerăm valabile axiomele calculului probabilităţilor la obiectele realului ?” (pag. 338). În general, la celelalte sisteme axiomatice, problema adecvării se rezolvă prin procedeul alegerii obiectului potrivit (geometria euclidiană, mecanica, etc.). Dar axiomele nu se potrivesc niciodată realităţii; de aceea problema adecvării celorlalte teorii formale la realitate se decide în cadrul conceptului de probabilitate; aşadar, dacă nu vrem să cădem într-un cerc vicios, problema adecvării calculului probabilităţilor trebuie abordată diferit. La o examinare mai atentă, problema adecvării se subîmparte în: (1) problema asignării probabilităţii şi (2) problema valabilităţii axiomelor. Dar, dacă probabilitatea este o limită de frecvenţe şi axiomele I – IV din Anexa 4 se verifică banal la frecvenţe, problema a doua nu se mai pune. Singura problemă cu adevărat grea rămâne prima: cu ce drept considerăm că  ?

            Pentru a răspunde la întrebare, efectuează o scurtă incursiune în critica probabilităţilor apriori, date prin considerente de simetrie. Ele se bazează pe principiul raţiunii suficiente care constă în aceea că datorită simetriei zarului se înşală cine crede că la o aruncare cinstită vreuna din feţe poate apărea „mai uşor”; la o analiză mai atentă, acest „mai uşor” se dovedeşte a fi „mai des”, iar aceasta este deja o incongruenţă logică deoarece nu se poate demonstra vreo legătură logică între simetria zarului şi frrecevnţa apariţiei feţelor. În concluzie, principiul raţiunii suficiente nu reuşeşte să explice coerent asignarea probabilităţilor chiar când uneori se potriveşte. Însă „egal probabilitatea” – aproximativă – se poate explica mai coerent prin metoda funcţiilor arbitrare a lui Poincaré, care i se pare a fi o explicaţie mulţumitoare căci „deducem egala probabilitate din ipoteze mult mai slabe asupra repartiţiei iniţiale”. Oricum, am explicat o probabilitate prin altă probabilitate; în ceea ce priveşte problema asignării probabilităţii nu am progresat cu nimic în restul cazurilor.

            Singura speranţă de lămurire a problemei asignării probabilităţii stă în probabilitatea statistică, aposteriori. Dar interpretarea probabilităţii ca limită de frecvenţe împreună cu cerinţa ca şirurile să fie definite extensional – colecţii de date statistice – ne pune în situaţia absurdă că orice asertare probabilistică este logic compatibilă cu orice segment iniţial al şirului. Iar noi nu dispunem decât de segmente iniţiale ale lui care sunt neglijabile în raport cu restul. O propoziţie de genul „ ” afirmă existenţa unei infinităţi de termeni ai şirului cu proprietatea „A”; însă aceasta este o afirmaţie complet nedecidabilă empiric.

            În concluzie „dorim tratarea şirurilor probabiliste date intensional prin calculul probabilităţilor, iar a celor date extensiv prin calculul aplicat probabilităţilor. În primul caz afirmaţiile sunt decidabile matematic, în al doilea nedecidabile... Interpretarea frecvenţialistă a probabilităţii duce la afirmaţii complet nedecidabile. Asertarea limitei are un caracter de profeţie şi anume al unei profeţii complet nedecidabile. Aici este sâmburele tuturor greutăţilor epistemologice ale conceptului de probabilitate. Atât problema adecvării cât şi a sensului duc la întrebări care par de neînvins.”

            Ar fi prea comod ca în faţa acestei situaţii, aparent fără ieşire să dăm înapoi considerând întreaga problemă ca fiind lipsită de sens, consideră în continuare autorul. „Nu este fără sens să pretinzi că un şir are limită. Numai că este vid logic (leer). Ceea ce se pune în discuţie este caracterul intensiv (Inhaltlichkeit) al interpretării frecvenţialiste. Se pare că interpretarea frecvenţială (Häufigkeitsdeutung) are acelaşi păcat pe care l+am reproşat interpretării probabilităţii ca referindu-se la un caz unic (Einzelfallsdeutung): nu o putem corela cu vreo stare de fapt” (pag. 354). Din această situaţie absurdă am putea ieşi prin două metode:

            A. Să căutăm altă interpretare frecvenţială a probabilităţii, nu neapărat de limită (se ştei că intepretarea Kolmogorov – Cramér este tot frecvenţială, dar probabilitatea este gândită ca un punct în jurul căruia oscilează frecvenţele parţiale, în serii de experimente suficient de mari). Pentru Reichenbach, însă, şi această intepretare postulează existenţa unei limite; via teorema Bernoulli se ajunge iarăşi la teorema limitei, şi din nou este o intepretare indecidabilă. Înseamnă că „necesitatea axiomei limitei este de neînlăturat din moment ce ne-am hotărât la o intepretare frecvenţială. Trebuie să încercăm rezlovarea dificultăţilor logice legate de intepretarea probabilităţii ca limită altfel” (pag. 358).

            B. Totuşi, în realitate, problema nu este deloc nedecidabilă; în practică „nu ne dăm înapoi de la a pune asertări de frecvenţă sub formă de limită... şi deosebim foarte bine între o propoziţie şi negarea ei. Dacă, de exemplu, la aruncarea unui zar de 6000 de ori apar 990 de „6” accept că  iar dacă au apărut numai 10, resping fără şovăială aceeaşi ipoteză”. Şi totuşi, am văzut că din punct de vedere logic, orice asertare de limită este vidă de conţinut pentru şiruri date extensiv, fiind compatibilă cu orice segment iniţial. Înseamnă că logica noastră bivalentă este de vină şi trebuie dată la o parte dacă nu vrem să renunţăm la teoria probabilităţilor, transformând-o, prin renunţarea la asertarea limitei într-o arhivă, o colecţie stupidă de date fără valoare predictivă. Şi adevărul este că nici noi nu gândim după logica bivalentă, care nu e decât „o idealizare care se potriveşte în mai multe cazuri tocmai pentru că se neglijează latura probabilistă a cunoaşterii” (pag. 359). „Credem că nu se va putea lămuri niciodată problema adecvării teoriei probabilităţilor în cadrul logicii clasice, căci în realitate, judecarea unei aserţiuni probabiliste este ea însăţi un demers probabilist” (pag. 359). Trecerea la logica probabilistă, este clar că Reichenbach nu o face ca un scop în sine: nu poate rezolva altfel problema. Ea are caracterul saltului de la geometria euclidiană la cea riemanniană. Logica clasică nu este decât un caz degenerat al logicii adevărate, reale a omului, „Dominarea psihologică a ei ţine de aceleaşi resorturi ca şi dominarea psihologică a geometriei euclidiene” (pag. 360).

            În sfârşit, răspunsul la problema decidabilităţii este: probabilitatea nu este decidabilă logic; ea este decidabilă inductiv; gândirea probabilistă este gândirea inductivă (Der induktive Schluss ist ein Wahrscheinlichkeitsschluss – pag. 10). Când oamenii spun că anumite fapte justifică o ipoteză probabilistică şi altele nu, ei nu gândesc pe scara da – nu, ci pe o scară continuă de valori.

            Rezultă că intrebarea: „Cu ce drept asignăm probabilitatea p unui eveniment ?” are în spate întrebarea „Cu ce drept folosim regula iducţiei ?” Cu nici unul – dacă e să judecăm după logica normală; pentru că este singurul instrument justificat de care dsipunem – răspunde autorul, folosind logica probabilistă. Regula inducţiei (dacă de n ori observi P, conchid că a  –a oară va apărea iarăşi P) aplicată la frecvenţe spune: dacă de n ori observi frecvenţele  aproximativ egale, inferă că tot aşa va fi şi a  –a oară. Ea se bazează pe un pariu tacit al nostru: că lumea este previzibilă. În limbaj probabilistic, că limita frecvenţei există. Dacă este aşa, regula inducţiei ne va duce spre limită. Dacă nu, oricum ea este singura pe care o ştim pentru a prevedea. De aceea ea este justificată – i se răspunde lui Hume. „Un orb care s-a rătăcit în munţi, pipăie cu bastonul o cărare. El nu ştie încotro duce această cărare, nici dacă nu îl va arunca în prăpastie. Şi totuşi, în măsura în care poate să o pipăie, el o va urma pas cu pas. Căci dacă pentru el există măcar o posibilitate să ajungă undeva, aceasta este să-şi pipăie în continuare cărarea. În faţa viitorului suntem ca acest orb; pipăim o cale (inducţia n.n.) şi ştim: dacă măcar un drum se poate găsi prin viitor, apoi acesta este de a pipăi în continuare cu bastonul această cărare” (pag. 420)

            În faţa descoperirii incoerenţei logice a inducţiei, Hume se resemnează. Din contră, nici urmă de aşa ceva la Reichenbach: „Rezultatul nostru nu este resemnare: căci am arătat că ar trebui să ne ghidăm după regula inducţiei chiar dacă nu credem în ea... Să fie clar: noi nu ştim dacă ordinea lumii nu se va schimba, dacă soarele va mai răsări şi mâine; poate mâine lumea va înceta pentru noi, deoarece vom fi închis ochii pentru totdeauna. Dar aceasta nu schimbă raţiunile care ne determină acţiunile. Ne bazăm acţiunile pe ideea că lumea este previzibilă; dacă nu este aşa, ei bine, am acţionat în zadar”. (pag. 420)

            Tot în cadrul curentului frecvenţialist l-aş încadra şi pe K. Popper (1902 - ??). Cel puţin aşa se prezintă în lucrarea sa „Logica cercetării”, pe care o voi comenta. Mai târziu (1959), a ajuns la concluzia că „tratarea probabilităţii pe baza teoriei măsurii trebuie preferată interpretării frecvenţiale atât din motive matematice, cât şi filosofice – interpretarea probabilităţii ca măsură a tendinţei de realizare”([47], pag.243). În schimb, în [47], un întreg capitol, plus anexe adăugate în decursul anilor, sunt deidcate unei încercări de fundare frecvenţialistă a probabilităţii. Spre deosebire de Reichenbach, care vrea să renunţe la „Regellosigkeit” păstrând axioma limitei, Popper speră să reuşească o construcţie în care, slăbind axioma hazardului să renunţe la axioma limitei, decretată vinovata principală în dificultăţile de interpretare ale teoriei.

            Întâi o observaţie matematică. Şirurile „absolut libere” ale lui Popper, discutate în §1.2, au într-adevăr proprietatea că, empiric, ele sunt „mai aleatoare” decât ale lui von Mises, în sensul că mecanismul aleator începe să lucreze chiar de la început. Dar tratarea matematică a probalemei nu este riguroasă: în puctul cheie ([47],§64) unde era vorba să renunţe la axioma limitei, Popper devine brusc neinteligibil, cu toate comentariile şi anexele adăugate ulterior. Problema ar fi fost să definească noţiunea de şir absolut liber infint (de 0 şi 1 măcar) şi apoi să demonstreze că un asemenea şir absolut liber are proprietatea că frecvenţele parţiale converg spre o anumită limită. Tot ceea ce reuşeşte să facă este să construiască exemple particulare de şiruri absolut libere cât mai scurte posibil (în sensul că segmentele iniţiale de lungime  sunt n – libere) a căror frecvenţă parţială tinde la . Nu văd cum se trece apoi la un p oarecare. În plus foloseşte noţiunea de „frecvenţă medie absolut liberă” (pag. 196) pe care nu o defineşte, deşi este esenţială pentru construcţia pretinsă.

            O explicaţie simplă a preocupărilor îndelungate ale lui Popper pentru conceptul de probabilitate este aceea că este greu de împăcat cu ideile sale deductivist falsificaţioniste privind teoriile ştiinţifice. Cartea [47] este o replică destul de polemică la adresa inducţionismului probabilist al lui Reichenbach, comentat mai sus. Sarcina pe care şi-o asumă este

            (1) Crearea unei noi baze pentru calculul probabilităţilor pe linia deschisă de von Mises: o teorie frecvenţialstă eliberată de axioma limitei, şi

            (2) Clarificarea relaţiei existente între o aserţiune probabilistică şi experienţă: problema decidabilităţii.

            Ne vor interesa în primul rând supoziţiile ontologice explicite sau tacit admise pe care la face referitor la probabilitatea fizică, şi nu a ipotezelor sau a teoriilor. De altfel, sunt de acord mai degrabă cu el decât cu Reichenbach că nu se poate ataşa vreo probabilitate obiectivă unei teorii ştiinţiifice. O asertare de tipul P(teoria lui Schrödinger este adevărată | experienţa acumulată) = p mi se pare un nonsens, sau cel mult un joc inutil cu simbolurile probabilistice. Pare clar că ceea ce intenţionează este consolidarea unei probabilităţi obiective, aşa cum este necesară în fizică, unde din păcate „persistă o situaţie inacceptabilă: fitâzica operează cu probabilităţi fără a fi în stare să formuleze în mod consistent ce se înţelege prin ele” (pag. 165). Interpretarea care părea să realizeze acest deziderat îi părea, atunci, cea frecvenţialistă: „...voi încerca să reconstruiesc teoria probabilităţii ca o teorie frecvenţialistă (modificată). Mă declar prin aceasta adeptul unei interpretări obiective, în primul rând deoarece cred că numai o asemenea teorie obiectivă poate explica aplicarea calculului probabilităţilor în ştiinţele empirice. Teoria subiectiv, care de altfel are de învins mai puţine dificultăţi de ordin logic decât cea obiectivă, poate, este adevărat, să dea un răspuns logic consistent problemei decidabilităţii enunţurilor probabiliste, dar, cum acest răspuns ar trebui să conceapă aceste anunţuri ca fiind tautologice, deci neempirice, nu ne putem declara mulţumiţi cu răspunsul oferit de ea, dacă ne gândim la aplicaţiile fizice ale teoriei probabilităţilor” (pag. 168). Problema fundamentală a teoriei hazardului este „cum un enunţ despre ceea ce nu ştim, interpretat ca enunţ frecvenţial poate fi testat şi coroborat empiric.” (pag. 169).

            Spre deosebire de ceilalţi frecvenţialişti şi critici ai teoriei lui von Mises care au combătut mai ales axioma hazardului, considerând-o „o monstruozitate matematică” (P. Servien) şi cerând renunţarea la ea (Kamke, Dörge, Reichenbach) Popper resimte mai mult „necesitatea epistemologică a eliminării axiomei limitei... care nu este mai puţin problematică decât cea a hazardului” (pag.171) deoarece „limita unui şir nu este altceva decât o proprietate caracteristică a legii sau regulii matematice prin care este definit şirul” (pag. 171) şi ea „are forma unui enunţ universal nefalsificabil... care nu poate avea nici un conţinut extensional, ci numai intensional”. (pag. 203).

            Problema cea mai dificilă este cea epistemologică a aplicării teoriei probabilităţilor. Conform punctului său de vedere, o teorie este ştiinţifică, şi nu metafizică, numai în măsura în care poate produce enunţuri falsificabile, adică dacă se poate imagina un test la care, dacă ar eşua, să fie respinsă. Or, „enunţurile de probabilitate nu sunt falsificabile”, „nefalsificabilitatea logică a enunţurilor de probabilitate este în afară de orice îndoială; aplicabilitatea lor în ştiinţele empirice pare să zguduie din temelii întreaga mea concepţie epistemologică” (pag. 199). Să fie atunci toată teoria probabilităţilor o întreprindere metafizică ?

            Autorul încearcă să soluţioneze problema „tocmai prin aplicarea consecventă a acestei concepţii” (falsificaţioniste) (pag. 199). Primul pas constă în analiza formei logice a enunţurilor de probabilitate. Dacă este să  găsim un răspuns, apoi acesta trebuie să fie în cadrul logicii obişnuite; Popper nu resimte nevoia unei logici probabiliste pentru că „este pe de-a-ntregul posibil ca relaţiile probabiliste să fie supuse unei analize complete efecutată în cadrul relaţiilor clasice de deductibilitate şi contradicţie”. Analiza logică arată că orice enunţ de probabilitate este ne–empiric, iar noi avem pretenţia să îl falsificăm empiric. Să presupunem că în urma a 100 de aruncări cu banul apare numai stema. Deoarece avem bun simţ, vom renunţa la ipoteza că . De ce ? Nu putem observa decât o serie finită, şi în cadrul ei probabilitatea unei succesiuni de 100 de steme, deşi foarte mică, este totuşi pozitivă. „Speranţa că raritatea calculată a unui asemenea fenomen constituie un mijloc de falsificare a estimării probabilistice se dovedeşte a fi iluzorie, întrucât orice apariţie „frecventă” a unor segmente lungi foarte divergente poate fi oricând considerată ca nefiind altceva decât un segment mai lung şi mai divergent pentru care sunt valabile aceleaşi consideraţii: nu există nici un şir de evenimente determinat extensional... care ar putea falsifica un enunţ de probabilitate” (pag. 199). De aceea, ipotezele probabiliste ar trebui considerate ca neinformative din punct de vedere empiric !

            Dar împotriva unei asemenea concluzii vorbeşte marele succes predictiv realizat în fizică prin folosirea unor estimări ipotetice de probabilităţi (cinetica moleculară, termodinamica statistică). Statistica se bazează pe „falsificabilitatea practică” care constă în a considera că ipotezele prea improbabile sunt excluse.

            Răspunsul lui Popper, cu care rezlovă problema decidabilităţii, este că „teoriile probabilistice, atunci când sunt aplicate fără restricţii nu pot fi caracterizate ca ştiinţifice: trebuie să excludem utilizarea lor în metafizică, dacă vrem ca ele să fie de vreun folos în practica ştiinţei empirice” (pag. 205). Ca exemplu de cum nu trebuie aplicate teoriile probabiliste, el dă, de exemplu cazul speculaţiilor asupra entropiei de genul „este aproape cert că lumea se va dezagrega prin ea însăţi în mod accidental, dacă aşteptăm suficient de mult” deoarece „teoria probabilităţilor ne învaţă că un eveniment de probabilitate pozitivă se va produce o dată şi o dată”. Într-adevăr, un asemenea mod de a pune problema denotă o ontologizare naivă a probabilităţii şi sunt de acord că nu are ce căuta în ştiinţă.

            Dar cum trebuie atunci aplicate probabilităţile în practica ştiinţifică ? Popper caută (şi consideră că găseşte) răspunsul sperat în fizică. „Problema decidabilităţii creează dificultăţi numai epistemologului, dar nu şi fizicianului” (pag. 205) iar fizica a obţinut succese spectaculoase. Aşadar trebuie studiat statutul probabilităţii în fizică. Problema fundamentării satisfăcătoare a probabilităţii în fizică a fost – şi mai este încă – (vezi [14]) dezbătută de multe generaţii de fizicieni, adesea paralel şi independent de matematicieni. Pentru Ehrenfest, arată Popper (pag.205), aplicarea probabilităţii în fizică este o problemă conceptuală şi epistemologică. Fizicianul lucrează cu ea ca şi cu o frecvenţă ideală, postulând că adevăratele frecvenţe nu se vor abate prea mult de la ea. Fizicianul adoptă regula metodologică dictată de bunul simţ „de a nu explica niciodată efecte fizice, regularităţi reproductibile prin acumulări de accidente” (pag. 206).

            Am ajuns la conceptul cheie cu care Popper propune ieşirea din hăţişul problemelor aparent fără răspuns legate de decidabilitatea enunţurilor probabilistice: acela de „efect reproductibil”. Se poate imagina, arată el, că într-un recipient cubic de 1mc de aer, toate moleculele se vor deplasa spontan în sus şi nu vor atinge marginea de jos a recipientului. Probabilitatea unui asemenea eveniment în cadrul modelului Boltzmann ar fi de ordinul lui - un număr atât de mic, încât este imposibil de imaginat. Dar un asemenea fenomen nu va putea apărea niciodată ca un efect fizic, „deoarece datorită extremei sal improbabilităţi el nu ar putea fi reprodductibil după voie. Chiar dacă un fizician ar putea observa un asemenea proces, el ar fi incapabil să îl reproducă şi de aceea nu ar putea decide ce s-a întâmplat în realitate şi dacă nu cumva a făcut o eroare de observaţie. Dacă însă, abaterile de la un macroefect dedus prin ipoteze probabiliste sunt reproductibile, presupunem că estimarea probabilistă a fost falsificată”.

            Se propune, în definitiv, următorul răspuns paradoxal: (pag. 209) „Întrebare: cum pot ipotezele probabilistice care nu sunt falsificabile juca rolul unor legi naturale în ştiinţa empirică ? Iată răspunsul: În măsura în care nu sunt falsificabile, enunţurile probabilistice sunt metafizice şi lipsite de semnificaţie empirică; în măsura în care apar ca enunţuri empirice, ele sunt utilizate ca enunţuri falsificabile. Întrebare: Cum pot enunţurile probabilistice care nu sunt falsificabile să fie utilizate ca enunţuri falsificabile ?... Printr-o regulă metodologică care... interzice producerea, susceptibilă de a fi prevăzută şi reprodusă unor abateri sistematice, cum ar fi abaterile într-o direcţie anumită sau producerea unor segmente care sunt atipice într-un fel anumit. Ea cere nu o simplă corespondenţă aproximativă, ci cea mai bună concordanţă pentru ceea ce poate fi reprodus şi testat – pentru toate efectele.”.

            Să fiu sincer, nu ştiu care statistician ar fi mulţumit cu o asemenea ieşire din impas. Nu ni s-a spus nimic despre judecata pe care o face cineva în asignarea unei probabilităţi, cu ce drept consideră că . Ca să infirm această afirmaţie ar trebui să reproduc după voie o frecvenţă diferită cu mult de  ? Nu este o pretenţie cam prea severă ? Dacă cineva aruncă un zar de 600 de ori şi nu apare nici un 6, el renunţă fără nici o ezitare la ipoteza , fără a considera necesar să mai reproducă efectul, fiindcă este convins că ceea ce este prea puţin probabil nu se întâmplă, deşi acest lucru i se pare iluyoriu lui Popper. Şi, în definitiv, de unde ştiu că un efect este reproductibil sau nu ? Nu cumva se intră într-un cerc vicios respingând criteriul de falsificare al improbabilităţii şi înlocuindu-l cu cel de „efect reproductibil” ?

            Von Mises şi Popper au meritul, după părerea mea, de a fi pus în evidenţă faptul că legile statistice nu pot fi niciodată reduse la cele deterministe. „Nici cea mai neînsemnată teoremă a teoriei cinetice a gazelor nu derivă din fizica clasică fără ajutorul unor ipoteze de ordin statistic” – spune von Mises (citat din [47], pag. 212). Explicaţia dată de Popper este că în orice derivare de legi statistice (= enunţuri de frecvenţă) intervin ipoteze de natură statistică asupra condiţiilor iniţiale. Pe scurt, concluziile probabiliste cer premise probabiliste.

            În general, sunt de acord cu ireductibilitatea probabilităţii la altceva. Anumite dubii le voi discuta în Anexa 3.

            Rezolvarea de către Popper a „problemei cazului unic” concordă cu cea a lui Reichenbach. Când unui caz unic i se ataşează o probabilitate, se are în vedere întotdeauna o clasă de referinţă, măcar tacit. Natural că inserarea cazului în clase de referinţă diferite produce asignarea de probabilităţi diferite. Aşa şi apar multe „paradoxuri” probabibliste neinteresante. Probabilitatea unui caz unic este denumită de Popper „formalistă” (§71) şi este văzută ca o punte de legătură cu teoria subiectivistă a lui Keynes: „Putem accepta să interpretăm (urmându-l pe Keynes) o probabilitate formalistă ca „grad al încrederii raţionale”, cu condiţia însă ca încrederea raţională să fie determinată de un enunţ frecvenţial obiectiv, acesta din urmă constituind atunci „informaţia” care determină „gradul de încredere”. Cu alte cuvinte, exceptând faptul că el aparţine unei clase de referinţă în cadrul căreia o anumită estimare probabilistă este coroborată; această informaţie… ne va permite să exprimăm tot ce ştim despre el prin intermediul unui enunţ probabilistic formalist care apare ca o predicţie nedeterminată despre evenimentul singular în cauză”.

            Ceea ce respinge – şi pe drept cuvânt, consider – este pretenţia ca enunţurile de probabilitate formaliste să fie interpretate nemijlocit obiectiv ( la o aruncare cu zarul ar însemna că rezultatul următoarei aruncări cu zarul ar fi în mod obiectiv nedefinit şi nedeterminat).

            De asemenea, Popper are o interpretare interesantă, statistică, a relaţiilor de incertitudine ale lui Heisenberg pe care le consideră relaţii statistice de împrăştiere. Nu este de competenţa mea să fac vreo apreciere asupra punctului său de vedere. Remarc numai că punctul său de vedere asupra interpretării conceptului de probabilitate s-a modificat: în lucrările mai noi (1959) optează pentru o interpretare propensionalistă moderată, adică corelată cu noţiunea de frecvenţă.

            Deşi poate că nu este întru totul justificat, m-am decis să discut lucrarea „Voraussage, Wahrscheinlichkeit, Object” de M. Drieschner (1979) (Predicţie, probabilitate, obiect) la capitolul despre frecvenţialism. Cartea nu este de matematică, ci de fundamentele fizicii. Pe autor îl interesează mai mult noţiunea de probabilitate de care are nevoie fizicianul. Motivul pentru care îl includ la frecvenţialişti este definiţia pe care o dă probabilităţii (§IV, 4): „Probabilitatea este frecvenţa relativă prevăzută”. Aşadar, probabilitatea se referă la colecţii de evenimente, finite dar oricât de mari, şi ea este o conjectură privind componenţa aşteptată a setului de date experimentale. Este o definiţie mergând pe ideea lui Ehrenfest comentată mai sus. Sigur că matematicianul ar putea obiecta că la un set de 10 probe nu are sens să prevezi o frecvenţă relativă de 0,13, adică nu este prea riguros să legi frecvenţa prevăzută de numărul probelor, însă aceasta se poate aranja fără complicaţii prea mari. Important este că definiţia este practică pentru experimentator: „De la o definiţie bună trebuie să te aştepţi să regăseşti sensul uzual al termenului şi să fie practică pentru tema propusă” (§4.4). De altfel „abundenţa propunerilor teoriei probabilităţilor aproape că te înspăimântă. Adesea, oameni diferiţi propun teorii care răspund la întrebări diferite”( §4.4). Întrebările care aşteaptă răspuns, şi la care autorul crede că a găsit un răspuns parţial sunt:

            1. Ce este probabilitatea ?

            2. Cum se asignează o probabilitate unui eveniment ?

            3. Cum pot verifica empiric enunţuri probabilistice ?

            4. Cum pot să ştiu dacă un şir de evenimente sunt independente şi au aceeaşi probabilitate ?

            Definirea probabilităţii ca o frecvenţă relativă prevăzută este o definiţie – subliniază Drieschner – deoarece în capitolele anterioare ale cărţii autorul a discutat conceptul de predicţie (Voraussage). Referentul predicţiei nu este un subiect individual, ci unul epistemologic: prin această precizare termenul capătă şi o încărcătură obiectivă. Printre predicţii există şi predicţiile de frecvenţă; ele sunt un tip de legi ale naturii sui generis, numite statistice. Probabilitatea cu care avem de a face în fizică este întotdeauna o frecvenţă prezisă: „O frecvenţă relativă prevăzută este cea mai generală predicţie care se poate proba empiric” (§4.6). Legile naturii nu sunt numai de tipul „Da” sau „Nu”, ci şi de tipul „Uneori da, alteori nu”. În ultimele intră probabilitatea ca „ceva care se aplică la predicţii în viitor, o cuantificare a posibilităţii”(§4.4). Conexiunea posibilităţii cu predicţia se face prin frecvanţă: „În aplicarea practică a probabilităţii în ştiinţele naturii interpretarea frecvenţială este inevitabilă” (§4.4).

            A defini probabilitatea ca frecvenţă relativă prevăzută, nu spune însă prea mult dacă nu se lămureşte cum apar predicţiile de frecvenţă, cum pot fi ele probate empiric şi când sunt ele posibile.

            Predicţiile de frecvenţă apar fie empiric, în urma unui şir de experimente efectuta în condiţii practic identice, postulând că frecvenţa viitoare nu se va deosebi prea mult de cea găsită (asignarea statistică), fie din considerente de simetrie, aşa cum se face în teoria cinetică a gazelor (asignarea apriori).

            Ambele metode nu sunt irefutabile logic, însă este o stare de fapt că se potrivesc mulţumitor. Frecvenţa relativă coincide numai aproximativ cu cea prezisă. Dar nu prin acest lucru se deosebeşte probabilitatea de celelalte cantităţi măsurabile, căci orice măsurătoare se abate de la adevărata valoare prin ceva. Caracterul fundamental al măsurării probabilităţii este că eroarea scade numai probabil odată cu creşterea numărului probelor. La asignarea statistică a probabilităţilor „problema nu mai este predicţia frecvenţei relative pentru viitoare măsurări, ci fixarea unei frecvenţe precizate din datele disponibile. Problema unei predicţii corecte nu ar avea nici un sens dacă nu ar avea în vedere o lege a naturii din acre urmează predicţia. Frecvenţa relativă precizată poate servi la aceea că din mai multe predicţii logic posibile să o alegem pe cea care se potriveşte în realitate cel mai bine”(§4.7a). În asignarea statistică, nu se mai caută „probabilitatea unui eveniment în condiţiile unei ipoteze (ipoteza este deja probabilistă, că  n.n.) ci invers, probabilitatea unei ipoteze dacă evenimentul fixat se întâmplă” (§4.7a). Lucrurile se complică deoarece probabilitatea unei ipoteze nu mai are interpretare frecvenţială: ea este într-un grad şi mai mare ipotetică, fiind derivată prin regula lui Bayes sau prin metoda verosimilităţii maxime (regula likelihoodului, care în cazul cel mai simplu, a două ipoteze h şi h’ spune: dacă , acceptă pe h). Prima regulă cere cunoaşterea probabilităţilor apriori ale ipotezelor, lucru foarte convenţional şi arbitrar; în schimb metoda a doua duce la rezultate absurde, mai ales la eşantioane mici: de exemplu, dacă la o serie de trei aruncări cu banul au apărut numai steme şi dacă am aplica aniv regula verosimilităţii am decreta că P(stemă) = 1 ! Pe lângă acaestă obiecţie, mai există un contraexemplu celebru (jocul cu bile al lui Ehrenfest) care arată că metoda verosimilităţii ne duce la concluzii false. De aceea, Drieschner propune următoarea metodologie de asignare a frecvenţei relative prevăzute: „Un eveniment întotdeauna repetabil face în timp acea ipoteză mai probabilă care acordă acestui eveniment, în ipotezele posibile, probabilitatea maximă” (§4.7a). Cu alte cuvinte, trebuie urmărit şirul ; ; ;...;  şi căutată acea probabilitate p pentru care această evoluţie are probabilitatea maximă. Este vorba de o modificare a metodei verosimilităţii, posibil (principial) de aplicat cu ajutorul calculatoarelor.

            A doua metodă de asignare este cea apriori, dată de considerente de simetrie. Ea poate servi de substitut pentru probabilităţile apriori care lipsesc la aplicarea teoremei Bayes. Nu trebuie ontologizată asignarea probabilităţii pe baza aplicării numai a principiului raţiunii suficiente, deoarece s-a arătat (von Mises, Popper, Reichenbach) că aceasta este greşit. Aproximaţiile date pe baza lui pot fi folosite însă mai departe în aplicarea teoremei Bayes, căci ele nu se pot abate prea mult de adevăr: „Totuşi, în acest raţionament (al raţiunii suficiente, n.n.) este şi ceva adevărat. Presupunerea că toate feţele unui zar sunt echiprobabile este adevărată (? Cred că autorul a vrut să spună „nu este prea neadecvată” n.n.) dacă feţele nu se deosebesc unele de altele prin nimic. Faptul că ele sunt „identice” nu traduce o lipsă de cunoaştere, ci o stare de fapt. Această ultimă restricţie este importantă. La un zar real echivalenţa ar fi mai mult sau mai puţin adevărată. Predicţia se face pe baza ei şi se va potrivi în măsura în care este îndeplinită” (§4.7b). (Nu trebuie luat prea în serios ultimul rând, căci el pare să contrazică punctele de vedere exprimate anterior ale autorului: ad literam, ar fi o revenire la punctul de vedere al lui Cournot că probabilitatea  este o proprietate fizică a zarului, ceea ce, evident nu se poate susţine). Este vorba numai despre o primă aproximaţie, necesară în abordări ulterioare: „În fizică, probabilităţile se vor aplica mai ales în aceste cazuri, adesea cu ajutorul unor calcule din teoria grupurilor” (§4.7b).

            Pentru a putea folosi teoria propusă, Drieschner are nevoie şi de ipoteze de ordin doi, asupra frecvenţei frecvenţelor. Ele rezultă din ipoteze de independenţă, care cred că nu poate fi decât aproximativă, din moment ce se lucrează cu frecvenţe, fie ele şi prevăzute (Evenimentele A şi B, provenite de la două alternative compatibile – adică putându-se observa împreună, ceea ce nu este superfluu, căci în mecanica cuantică nu orice măsurători sunt compatibile, ci numai dacă aparţin aceleiaşi algebre Boole – sunt independente dacă ), unde h este frecvenţa relativă prevăzută; lucrul nu este posibil, stricto sensu, decât dacă  este diviyibil prin N unde H înseamnă frecvenţa absolută, iar N numărul probelor. Aşa că definiţia trebuie interpretată nuami aproximativ, eventual folosindu-se funcţia „parte întreagă”).

p.91 – 2 sept. 2001