II. PRINCIPALELE PUNCTE DE VEDERE PRIVIND

STATUTUL ONTIC AL PROBABILITĂŢII

§2.1. DE LA CARNEADE LA LAPLACE

            Cum este şi normal, conceptul de probabil s-a dezvoltat în urma meditaţiilor referitoare la adevăr, certitudine şi incertitudine. Filosofii încercau să găsească adevărul, propunând modele subtile; la început nu şi-au pus problema adevărului revelaţiilor lor, deoarece credeau cu tărie în modelele pe care le propuneau. Aceasta a fost faza precritică a filosofiei, presocratică. Filosofia critică începută cu Socrate a evidenţiat de la început că omul nu cunoaşte nimic cert.

            Totuşi, probabilismul, ca demers critic purtând asupra verosimilului nu derivă de la filosofi ci, după cum arată F. Mentré în [36], de la oartori. Primii care au discutat conceptul de verosimil (eikos), au fost retorii sicilieni Corax şi Tisias. Pentru ei verosimilul era instrumentul central necesar artei de a convinge - retorica. Prima distincţie pe care au făcut-o a fost între verosimilul absolut (eikos aplos) şi verosimilul relativ (eikos ti). De exemplu, „Eu trăiesc în Syracuza” ţinea de verosimilul absolut, iar „Democraţia este preferabilă oligarhiei” ţinea de cel relativ. Marca celui absolut era consensul: nu trebuia convins nici un om sănătos mintal de adevărul postulării lui.

            De altfel este interesant că şi Aristotel discută noţiunea de verosimil şi logica verosimilului în „Retorica” şi „Topice”, nu în „Metafizica”. Nu face o distincţie între probabil şi verosimil (pythanos). Retorica este considerată de el ca domeniul tipic de aplicare a logicii verosimilului. Comentând poziţia lui, Cournot afirmă [??] „Aristotel întrevede foarte confuz aplicaţiile doctrinei şanselor, neştind dacă să le plaseze sub titlul de „Doxa” sau „Episteme” ”.

            Apogeul gândirii probabiliste în antichitate este atins de „Noua Academie” (Arcesilaos şi Carneade). Nici unul din ei nu a lăsat ceva scris. Ideile care li se atribuie - mai ales lui Carneade - sunt surprinzător de moderne.

            Iată, de exemplu punctul de vedere al lui Carneade ([39]): noi, oamenii, nu putem ajunge la adevărul absolut nici prin raţiune, nici prin percepţie, după cum au demonstrat scepticii. Adevărul, certitudinea nu ne sunt date. Totuşi, viaţa ne cere să acţionăm. Trebuie de aceea, să ne mulţumim cu aparenţa practică a adevărului - cu verosimilul. „Probabile aliquid esse et quasi verisimile eaque se uti regula et in agenda vita et in querendo et diserendo” ([36], pg.270).

            Ce înseamnă verosimil ? În analiza conceptului a rămas de la Carneade următorul exemplu celebru: un băiat intră într-o pivniţă întunecoasă. Acolo vede o funie care seamănă cu un şarpe încolăcit. Băiatul se sperie: nu ştie dacă obiectul este şarpe sau nu. Aşteaptă puţin; lucrul acela nu se mişcă. Poate că nu este şarpe ! Înaintează prudent câţiva paşi şi obiectul rămâne nemişcat. Încrederea că este ceva neînsufleţit creşte. Ia un băţ şi îl atinge; nu se mişcă. De-abia după ce îl ia în mână ajunge la certitudinea practică ([39]).

            Mi se pare că acest exemplu conţine in nuce probabilitatea subiectivă promovată de Ramsez şi de Finetti. Cred că el l-ar fi făcut invidios şi pe savage, campionul neobazesienilor. Într-adevăr, el arată foarte intuitiv evoluţia de la incertitudine la certitudinea practică, via teorema lui Bayes.

            Carneade îşi dădea perfect de bine seama că oamenii au o mulţime de certitudini, dar ele sunt practice, mărunte, triviale. Ei ştiu că dacă se taie capul unui om, el moare. Dar de ce ? Şi ce însemană „moare” ? Ce înseamnă viaţă ? De ce mor oamenii ? Există zei ? Răspunsurile la ultimele întrebări nu le vom afla. De aceea, înţeleptul trebuie să nici nu şi le pună, ieşind din cercul vicios al lanţului de explicaţii care se presupun una  pe  alta.  De  la  orice  întrebare,  după  două  sau  trei „de ce” - uri apar cercurile vicioase ale filosofilor (de ce cade piatra jos ? Pentru că o atrage pământul. Ce înseamnă că o atrage ? Însemană că asupra pietrei acţionează o forţă. Ce este forţă ? ceva care modifică astrea de mişcare sau de repaus relativ a pietrei. De ce atrage pământul piatra ? Pentru că aşa este în firea lucrurilor. Orice explicaţie ştiinţifică se opreşte la o asertare apodictică). Înţeleptul se va ghida după regulile verosimilului.

            Dar, l-au întrebat soicii, rivalii cei mai puternici ai lui Carneade (considerat la vremea lui cel mai important filosof în viaţă), verosimilul este ceva asemănător cu adevărul. Dacă nu ştii care este adevărul, de unde ştii că ceva seamănă cu el ? Cum recunoşti că ceva seamănă cu altceva, dacă nu ştii cum arată acel altceva ? Necesităţile polemicii l-au adus pe Carneade la o analiză nuanţată a conceptului de verosimilitate (pythanotes). El considera că gradul de încredere acordat lucrurilor este dat de:

            1. Vivacitatea senzaţiilor;

            2. Ordinea reprezentărilor şi

            3. Absenţa contradicţiilor interne.

            În cazul exemplului cu funia - şarpe, la început vivacitatea senzaţiilor nu a fost suficientă (era întuneric); băiatul a apelat la ordinea reprezentărilor, testând funia dacă se mişcă, iar certitudinea a apărut în urma absenţei contradicţiilor interne între reprezentarea funiei şi obiectul din faţa lui. Dacă sub funie ar fi fost un şoarece, care ar fi mişcat funia, nivelul de încredere al băiatului în ipoteza „este funie” ar fi scăzut datorită contradicţiilor interne între reprezentări: o funie nu se mişcă singură.

            Carneade a fost un filosof de rasă (219 - 129 î.e.n.). A combătut divinaţia şi ştiinţele oculte. Din păcate nu a fost înţeles nici în timpul vieţii, nici apoi. A fost confundat cu scepticii (de care este pricipial deosebit în problema temeiului acţiunilor umane), nu a scris nimic şi a căzut în dizgraţie împreună cu toată şcoala sa din motive extrafilosofice: în 156 a pledat la Roma (practică austeră, lipsită de umor) într-un proces, cu aceeaşi strălucire pentru ambele părţi ([36]).

            Eclipsa probabilismului a durat 1700 de ani, până la Cardano, Pascal şi Fermat. Termenul matematic de „probabilitas” a fost introdus explicit prima oară de către Bernoulli în 1713, dar era folosit şi în Logica de la Port Rayo ???. El îl luase din scolastica medievală, anume din cazuistica iezuiţilor. Cazuistica era acea parte din teologie care se ocupa cu rezolvarea cazurilor de conştiinţă, aplicând normele morale deduse din Biblie şi din sfânta tradiţie (activitatea diverşilor sfinţi, martiri, asceţi şi teologi) la cazurile particulare ale conduitei. Sensul cuvântului „probabilus” era diferit de cel etimologic precum şi de cel dat de Bernoulli: acolo ([22]) afirmaţiile sfintei scripturi, ale bulelor papale şi conciliilor cardinalilor erau numite „certe” în opoziţie cu cele ale diverşilor doctori ai bisericii, cardinali şi sfinţi mai mici care erau pe linia lui Carneade, dar fără a înţelege prea bine sensul noţiunii. Probabilitatea zunui enunţ era dată de autoritatea celui care îl exprimă (Biblie, papă, cardinal). Criticând acest mod ciudat de vedea lucrurile, Leibniy arăta, cu bunăvoinţă, că autoritatea nu este decât unul din lucrurile care creează verosimilul (vezi [22]).

            Este interesant că în antichitate nu s-a văzut nici o legătură între conceptul de întâmplare şi cel de verosimil. Ideea că legile naturii sunt rezultatul ciocnirii întâmplătoare ale unui număr uriaş de atomi provine de la Leucip şi Democrit. Ea este frumos tratată în poemul „De rerum natura” al lui Lucreţiu. Atomii se mişcă şi se ciocnesc la întâmplare; uneori, ajung la configuraţii stabile. Dintr-o asemenea întâmplare s-a născut lumea:

                        „Doar nu-ntradins, cu iscusinţa minţii

S-au aşezat atomii fiecare

La locul lui; şi ce mişcări să facă

Nu ei au hotărât, fără îndoială.

Ci mulţi dintr-înşii, de-o vecie-ntreagă

Se tot ciocnesc prin univers şi astfel

Cercând tot felul de mişcări, tot felul

De-ntrulocări, ajung până la urmă

L întocmiri asemenea cu-aceea

Din care-a răsărit şi lumea noastră.

S-au dăinuit ani mulţi şi mari de-a rândul

De-atunci de când mişcările atomilor

S-au nimerit să fie potrivite.”

            O justificare naivă a viziunii atomiste era dată de mişcarea dezordonată a particulelor de praf dintr-o rază de lumină:

                        „Te uită doară: când prin întunericul

Unei odăi, o rază de la soare

Pătrunsă-nuntru, varsă-a ei lumină

Tu vei vedea puzderii de corpusculi

Jucându-se-n lumina razei însăşi

În felurite chipuri ei dau lupte

Ca-ntr-un război etern, şi cete, cete

Se-ncaieră-ntre ei şi se descaieră

Făr' de popas. Tu din acest exemplu

Prea bine poţi acuma să-ţi închipui

Cum se frământă-n vidul fără margini

Atomii mei (dar numai dacă

Un lucru mic ne poate da icoana

Şi-a celor mari, şi dacă el ne pune

Pe urma lor, spre-a le putea cunoaşte).” (Citat din [51], pg.164)

            Totuşi, ceva idei confuze despre stabilitatea frecvenţelor trebuie să fi existat, deoarece Domitius Ulpianus a lăsat o tabelă cu speranţa de viaţă şi ştie că romanii practicau asigurările ([20]).

            Primul care a încercat să facă o matematică a întâmplării a fost Pascal (1623 - 1662), dacă nu îl socotim şi pe Cardano, care, cu câteva zeci de ani înainte a rezolvat câteva probleme simple cu zaruri. Istoricii matematicii fixează data naşterii teoriei probabilităţilor în 1654, prin schimbul de scrisori între Pascal şi Fermat privind următoarele probleme în legătură cu jocul cu zarurile puse lui Pascal de cavalerul de Mére:

1. Jucătorul aruncă 4 zaruri. Dacă nu apare nici un 6 câştigă; în caz contrar câştigă banca.

            2. Jucătorul aruncă două zaruri de 24 de ori. Dacă nu iese nici o dublă de şase, câştigă banca. Dacă iese vreuna, câştigă el.

            3. Doi jucători sunt obligaţi să întrerupă jocul şi ei au doar rezultate parţiale. Cum trebuie împărţit cât mai echitabil potul ?

(Ultima este cunoscută sub numele de „problema părţilor”)

            La prima problemă, era cunoscut empiric, spune legenda, că se înregistrează un uşor avantaj pentru bancă. Cavalerul de Mére voia să ştie de ce. Pascal a răspuns că, admiţând că zarul este perfect pe toate feţele vor avea aceeaşi şansă să apară (nu se folosea încă „probabilitas”); la 4 zaruri, toate cele  posibilităţi de combinare a zarurilor au de asemenea şanse egale de apariţie; din aceste combinări  sunt favorabile jucătorului şi restul de 671 sunt favorabile băncii; aşadar raportul probabilităţilor este 0,518 (banca) şi 0,482 pentru jucător. La problema a doua, calcule la fel de treiviale au dat 0,509 pentru bancă şi 0,491 pentru jucător. Singura problemă netrivială a fost ultima. O formulare mai precisă ar fi ([64]): doi jucători joacă un joc în care este câştigător cine realizează primul n puncte. Fiecare pune o miză A. Jocul se întrerupe când primul jucător a realizat a puncte şi al doilea b puncte. Cum trebuie împărţit potul 2A ? Răspunsul lui Pascal (şi Fermat) a fost că potul trebuie împărţit proporţional cu şansele de câştig ale celor doi parteneri dacă ar fi continuat partida până la sfârşit. Calcularea şanselor respective este foarte grea şi astăzi; la vremea aceea numai un matematician de geniu o putea aborda.

            Legenda spune că de Mére ar fi simţit răspunsurile la primele două probleme pe pielea lui, obstinându-se să joace împotriva băncii de multe ori. Lucrul acesta mi se pare prea dubios pentru a fi crezut. Abateri atât de mici de la  cum ar fi cea din jocul al doilea, nu se simt decât la yeci de mii de jocuri, lăsând la o parte faptul că un yar nu este niciodată perfect. Dacă banca ar fi jucat cu un yar ca cel din Anexa 2, iar celălalt ar fi fost totuşi perfect, probabilitatea ei de a câştiga ar fi fost 0,443 în loc de 0,509.

            Mai logic este să credem că cele două jocuri - care sunt destul de artificiale - au apărut tocmai pentru că în mediile de jucători se acceptase că toate feţele unui zar au aceeaşi şansă de apariţie şi că se făcuse de matematicieni obscuri, înainte, calculul şanselor la aruncări de n zaruri. Nu este exclus ca cele două jocuri să provină de la Cardano care în urmă cu peste o sută de ani scrisese o carte „Liber de Ludo Aleae”, tipărită însă postum de-abia în 1663. Cartea conţinea, printre altele, capitolele (vezi [64], pg. 98): „Despre aruncarea unui zar”, „Despre aruncarea a două zaruri”, „Despre aruncarea a trei zaruri”, „Despre jocurile de cărţi”, „Despre noroc în joc”. În o sută de ani, chiar manuscris fiind, cartea ar fi avut timp destul să circule prin mediile celor care se ocupau cu jocuri de noroc. O. Ore [64] consideră chiar că „ar fi mult mai drept să datăm începuturile teoriei probabilităţilor odată cu tratatul lui Cardano decât, aşa cum se face de obicei, cu discuţiile avute de Pascal cu prietenul său de Mére şi cu corespondenţa consecutivă cu Fermat”. Altfel nu văd de ce banca propunea jucătorului să arunce de 24 de ori o pereche de zaruri şi nu de 23 sau 25 de ori. Nu se poate ajunge empiric la stabilirea unei probabilităţi de 0,509; cel puţin nu în timpurile acelea.

            Pascal a simţit că se crease o nouă ramură a matematicii şi s-a grăbit să anunţe rezultatele sale Academiei din Paris. El aprecia că ([22]): „ ... această teorie, care combină exactitatea demonstraţiilor matematice cu nesiguranţa întâmplării poate pretinde pe drept cuvânt denumirea de „matematică a hazardului” (Aleae Geometria = geometria zarurilor) denumire care conţine numele cele două componente opuse”.

            Faptul că Pascal a considerat calculele sale o „explicaţie” a uşorului avantaj al băncii o interpretez prin aceea că el dădea o interpretare obiectivistă „şansei”. Frecvenţa relativă este manifestarea şansei. Probabil că cineva atotputernic şi atotcunoscător avea grijă ca fercvenţele relative să nu se abată prea mult de raportul de combinaţii calculat de matematician. Nu văd cum altfel probabilitatea ar putea să „explice” frecvenţa realtivă atâta vreme cât nu se cunoştea nici legea numerelor mari. Înţeleg că regula practică era: vor ieşi mai des acele evenimente care au şansa mai mare. Pentru el afirmaţia „Probabilitatea ca la aruncarea unui zar perfect să apară faţa 6 este ” era adevărată, corespundea unei stări de fapt - cel puţin aşa rezultă din [51].

            Ideile celor doi s-au răspândit repede în saloanele pariziene. Patru ani mai târziu, în 1658 a apărut cartea marelui fizician şi matematician Huygens (1629-1685 ??) „De ratiociniia in Ludo Aleae” care se bazează pe schimbul de scrisori Pascal - Fermat, dar vine şi cu cîteva probleme în plus. Este remarcabil că, în lucrarea lui Huygens, nu probabilitatea era noţiunea fundamentală ci „valoarea speranţei” (termenul folosit astăzi este „media unei variabile aleatoare”; în engleză „expectation”, în franceză „esperance mathematique”; în rusă „matematiceskie ojâdanie”, „Erwartungswert” - în germană. În toate celelalte limbi noţiunea are semnificaţie subiectivă: valoarea de aşteptare (Wartpść oczekiwania - în poloneză)) pe care Huygens o defineşte astfel: „Dacă numărul cazurilor în care obţin suma a este p şi cel al cazurilor în care obţin suma b este q, şi dacă presupunem că toate cazurile pot apărea la fel de uşor, atunci valoarea speranţei matematice este ” ([22]).

            În concluzie, în lucrările celor trei fondatori, noţiunea de probabilitate nu era introdusă explicit. Ei preferau să vorbească deapre şanse, posibilităţi sau cazuri, dar care „apar la fel de uşor”. După aceea, totul devine o problemă de combinatorică. Legătura între aceste „şanse” şi frecvenţa relativă era obscură; oricum, ea exista din moment ce Pascal răspundea cu ajutorul şanselor la primele două întrebări ale lui de Mére. Raţionamentul lor era de următorul gen: la aruncarea a 4 zaruri sunt 1296 combinaţii posibile, 625 favorabile jucătorului şi 671 favorabile băncii. Ele sunt la fel de posibile. Situaţia este, deci, echivalentă cu extracţia dintr-o urnă cu 625 de bile albe şi 671 bile negre. Bunul simţ spune că cel care pariază pe extragerea unei bile negre este favoriăat: are 6 bile în favoarea sa.

            Care este statutul ontologic al lui „la fel de uşor” ? Rezultă el nemijlocit din simetria unui cub perfect ? Şi ce înseamnă „la fel de uşor” ? Se poate defini de o manieră nevicioasă ? Un sceptic ar fi putut spune: „Este adevărat că zarul este perfect; feţele lui nu se pot deosebi una de alta dacă nu sunt numerotate. Totuşi, aruncarea zarului presupune un context experimental, rezultatul final de cum se aruncă; poate că într-un context experimental dat anumite feţe apar mai uşor şi altele mai greu. Dacă las zarul să cadă singur, din aceeaşi poziţie, de la 5 centimetri înălţime, sunt sigur că anumite feţe vor fi favorizate.” (vezi Anexa 1 în acest sens).

            Fondatorii Calcului Probabilităţilor nu şi-au pus asemenea întrebări; probabil ei considerau că orice om normal va fi de acord că toate feţele unui zar perfect au aceeaşi şansă de apariţie, dacă este aruncat de un om cinstit, şi nu de un trişor. Ei aveau în vedere numai studierea regulilor de echitate ale unui joc cinstit (regle des partis, compositio sortis) şi reguli cinstite de împărţire a potului.

            Cournot scrie (citat din [36]) că în ceea ce au făcut fondatorii „ ... au pus numai bazele raţionale ale statisticii, ştiinţă în plin avînt acum (în jur de 1860); prin precizia nemaiîntâlnită până la ei dată conceptului de hazard ... ei au pus, sau trebuiau să pună filosofii pe calea adevăratelor principii ale criticii; au deschis legicienilor singura uşă pentru a ieşi din cercul în care îi ţinea închişi Stagiritul”.

            Consecinţele filosofice ale noii ştiinţe au trecut, la început, neobservate de către adevăraţii filosofi. Poate că o parte din vină o poartă şi Pascal, spirit prea speculativ care nu a separat teoria matematică de empiric şi mistică. Şansa, hazardul avea (şi mai are) o puternică încărcătură magică, mistică. Spunând că toate cazurile apar „la fel de uşor”, el avea în vedere că Cineva, Supremul, avea grijă să le distribuie astfel. Este cunoscut pariul celebru (vezi şi [22]) în care argumenta probabilistic existenţa lui Dumnezeu (neluat în seamă de ceilalţi filosofi): dacă Dumnezeu există şi sunt catolic, cîştig viaţa veşnică, supunîndu-mă bisericii; dacă nu, nu am nimic de pierdut. Sau, în formularea lui F. Mentre ([36]): „să considerăm problema existenţei lui Dumnezeu ca un joc de noroc în care viaţa noastră este miza. Să aplicăm acestui pariu tragic calculul probabilităţilor. Dacă probabilitatea existenţei sale este , cel ce joacă (adică cel care crede) are un câştig mediu infinit iar cel ce nu joacă o pierdere medie infinită”.

            De alftel Pascal a făcut speculaţii teologice şi asupra noţiunii de infinit; era timpul în care Newton, leibniy (şi chiar el însuşi prin studiile sale asupra epicicloidei) fundau calculul infinitezimal. Totuşi, Analiza a ieşit repede din găoacea mistică şi a devenit o teorie matematică solidă, ceea ce nu a fost cazul cu teoria probabilităţilor. Explicaţia lui pius Servien ([57]) este că „noţiunea de infinit este apanajul matematicii, ceea ce nu este cazul cu cea de hazard”.

            Peste 50 de ani a apărut o carte fundamentală: este vorba despre „Ars Conjectandi” a lui Iacob Bernoulli (1654 - 1705). El este şi întemeietorul logicii probabiliste. Lucrarea nu a putut fi terminată. Din cele 7 capitole proiectate nu a putut scrie decât:

1. Definiţia certitudinii, necesităţii şi contingenţei;

            2. Ştiinţă şi conjectură;

                        3. Feluri diferite de argumente probabiliste;

            4. Probabilitate apriori şi aposteriori.

            El a folosit pentru prima dată termenul „probabilitas” (lucrarea este scrisă, după moda timpului, în latină) pe care l-a definit ca fiind „gradul certitudinii, care se raportează la certitudine ca partea la întreg.” Când lucrează, însă, cu noţiunea introdusă, nu foloseşte această definiţie mai degrabă metafizică, ci aceeaşi subînţeleasă de Pascal şi de Huygens: raportul între numărul cazurilor favorabile şi cele egal poisbile.

            Primele trei capitole sunt o reluare a lucrării lui Huygens, însoţită de comentarii. În plus, tratează complet problemele puse de acesta şi lăsate nerezolvate. Ultima parte este cea mai importantă: aici este demonstrată legea numerelor mari, sub forma ei cea mai simplă (teorema poartă numele lui). Prin ea se face legătura între probabilitate şi frecvenţa relativă. Iată formularea ei exactă (în limbaj modern):

            Fie un şir de evenimente independente având toate aceeaşi probabilitate p. Fie  egal cu 1 dacă  a avut loc şi egal cu 0 în caz contrar. Fie, în sfârşit  frecvenţa relativă a apariţiei evenimentelor . În aceste condiţii, pentru orice  există un  cu proprietatea că de îndată ce , .

            În cuvinte: şirul frecvenţelor parţiale converge la adevărata probabilitate în probabilitate.

            Bernoulli interpretează teorema sub forma: faptul că frecvenţele relative converg la adevărata probabilitate este o certitudine morală (astăzi am zice certitudine practică). Demonstraţia dată de el teoremei este foarte elegantă: a folosit în ea formula lui Stirling de aproximare a factorialelor, recent descoperită şi provenită din fratele geamăn al teoriei probabilităţilor: calculul infinitezimal.

            În teorema lui Bernoulli, probabilitatea apare de două ori, cu sens oarecum diferit: p este o probabilitate necunoscută a lui  (de exemplu apariţia feţei „6” la aruncarea numărul n). Ea este o probabilitate „fizică”, „obiectivă” (deşi la Bernoulli nu prea este obiectivă, din moment ce este un „grad al certitudinii”). Ce reprezintă P ? La efectuarea a n probe ,..., puteau apărea orice frecvenţe , de la 0 la n, cu probabilitatea , în ipoteza că adevărata probabilitate este p. Atunci teorema este echivalentă cu

,

unde se sumează numai acei k cuprinşi între  şi . Prin aceasta vreau să subliniez că probabilitatea P este oarecum „mai subiectivă” (ipotetică): ea se bazează pe ipoteza că evenimetele  sunt independente unele de altele. Bernoulli interpreta noţiunea de independenţă în sens fizic (evenimentele nu se influenţează unul pe altul), dar şi probablilistic, în sensul că  indiferent de rezultatul lui ,..., . Definiţia probabilistică a independenţei nu este dată explicit.

            Pe lângă aceasta, este clar că el mai subînţelegea în aplicarea teoremei şi regula metodologică: ceea ce este prea puţin proababil, nu se întâmplă. De exemplu, la 1000 de aruncări ale unei monede (cu ) , iar la  aruncări . Familia de 1000 (respectiv ) aruncări se comportă ca un singur eveniment, iar faptul că probabilităţile respective sunt mai mari ca 0,99 înseamnă că noi suntem convinşi că, la o singură efectuare a experimentului frecvenţa absolută  va fi într-adevăr între limitele specificate. Pe ce se bazează această convingere ? Şi cât de mare trebuie să fie  ca să avem certitudinea morală că A se va întâmpla ? Începând cu Bernoulli,  toţi  marii  probabilişti  şi-au pus această întrebare.

            Cel care a sistematizat cel mai clar teoria probabilităţilor şi a adus contribuţii decisive, care au marcat-o aproape un secol a fost P.S. Laplace (1749-1829). Lucrarea sa „Theorie analitique des probabilités” (1812) se citeşte şi astăzi cu plăcere. Ediţia a treia (1820) conţine o introducere epistemologică foarte detaliată intitulată „Essai phzlosophique sur les Probabilités” în spatele căreia se întrevăd mulţi ani de meditaţii dificile.

            Aici este expusă teoria sa celebră despre determinismul absolut, mecanic. Toate efectele naturii nu sunt decât „rezultatul matematic” al unui mic număr de legi imuabile. Înaintea lui, Pascal, Newton şi Leibniz admiteau o anumită contingenţă a legilor naturii aşa că aveau nevoie de Dumnezeu care din când în când să repare dezordinea care se manifesta în univers. Exact această contingenţă este respinsă de Laplace: el nu are nevoie de aceast „ipoteză”.

            Pentru el „orice eveniment, oricât de neînsemnat ar părea, este la fel de ncesar ca şi revoluţia Pământului în jurul Soarelui”. Unor evenimente, însă „le atribuim, în ignoranţa noastră, cauze finale ???  sau acţiunii hazardului, depinzând de apariţia lor în ordine sau într-o aparentă dezordine”. Aceste cauze imaginare dispar în faţa unei filosofii sănătoase care nu vede în ele decât expresia ignoranţei noastre. A admite hazardul orb al lui Lucreţiu îi pare echivalent cu a admite că există efecte fără cauză; aceasta este „o iluzie a spiritului”.

            Şi atunci care este justificarea teoriei probabilităţilor ? Ce sens are aplicarea ei ? Punctul de vedere al lui Laplace este următorul: omul este condamnat să acţioneze în condiţii de inecrtitudine. Dacă ar avea o inteligenţă şi capacitate de calcul infinită, ca demonul său, el ar putea prevedea tot viitorul, şi ar cunoaşteîntregul trecut. Nu ar mai exista pentru el istorie, trecut şi viitor. Teoria probabilităţilor este matematica hazardului. Ea constă în a reduce toate evenimentele de un anumit gen la un număr oarecare de cazuri egal posibile şi de a căuta numărul cazurilor favorabile.

            Laplace dă primul, clar şi explicit, „definiţia clasică” a probabilităţii ca fiind raportul între numărul cazurilor favorabile şi cele posibile, cu condiţia ca cele din urmă să fie egal posibile. Egal posibile înseamnă că „suntem egal indecişi asupra apariţiei lor” (a cazurilor respective). Se spune foarte clar şi tranşant: „Probabilitatea este relativă: ea ţine de cunoaşterea noastră, de ignoranţă. Ştim că din n evenimente posibile, unul singur se va întâmpla, dar nimic nu ne face să credem că vreunul din ele va apărea mai des decât altul. În această stare de indecizie este imposibil ca unul din ele luat arbitrar nu se va produce, deoarece celelalte cazuri egal posibile îl exclud”.

            Pe scurt: probabilitatea nu reprezintă decât gradul de certitudine pe care îl avem faţă de un anumit eveniment. Ea este ceva pur subiectiv: probabilitatea nu există în afara noastră. De fapt nu este vorba de gradul de certitudine pe care îl avem, ci pe care ar trebui să îl avem dacă am fi perfect raţionali şi astfel, perfect raţionali, am fi emis judecata de egal posibil. Înseamnă că probabilitatea nu are nici un temei ontic, ci numai gnoseologic: singurul mod raţional de a ne comporta în condiţii de incertitudine, de cunoaştere parţială.

            Şi totuşi, paradoxal, pentru Laplace „Teoria probabilităţilor (şi nu mecanica, unde el era de asemenea expert, n.n.) este ştiinţa cea mai demnă de meditaţiile noastre” datorită „metodelor analitice născute de această teorie, adevărului principiilor ei, logicii fine şi delicate pe care o reclamă în rezolvarea problemelor puse de ea ... şi aplicării ei în problemele cele mai importante ale filosofiei naturii şi ştiinţelor morale”. În plus, „ea ne învaţă să ne punem la adăpost de iluziile care ne încearcă adesea”.

            Avantajul căii alese de Laplace este că este foarte clară, unifică probabilitatea „fizică” - cea aposteriori cu cea pistimetrică, apriori şi cu probabilitatea inversă, a ipotezelor. Pe drumul deschis de el vor merge Poincaré, de Finetti, savage. Teoria probabilităţii în funadmentarea Laplaceeană poate sluji la fundamentarea statisticii prin teorema Bayes (principiile 4-6 din [32]). Vom studia problema în §2.4.

            Apare totuşi o contradicţie. Dacă probabilitatea este un grad de certitudine, atunci legea numerelor mari ar trebui interpretată astfel: dacă gradul meu de certitudine este că  şi dacă judec că evenimentele  sunt independente, şi dacă sunt raţional, trebuie să fiu sigur că frecvenţele relative vor converge către p.

            Iată, însă, cum cometează Laplace legea numerelor mari: „Printre cauzele variate şi necunoscute pe care le înregistrăm sub numele de hazard şi care fac nesigure evoluţia evenimentelor, se vede născându-se pe măsură ce evenimentele se multiplică, o regularitate frapantă care pare să ţină de un desen şi care a fost considerată ca o dovadă a existenţei Providenţei. Dar dacă reflectezi, ai recunoaşte că această regularitate nu este decât dezvoltarea posibilităţilor respective ale evenimentelor simple care trebuie să se prezinte cu atât mai frecvent cu cât sunt mai probabile. Să considerăm, de exemplu, o urnă cu bile albe şi cu bile negre. Frecvenţa este foarte neregulată la început, dar cauzele variabile ale acestei neregularităţi produc efecte alternativ favorabile şi contrare unui mers regulat al evenimentelor şi care se distrug reciproc pe măsură ce numărul creşte, lăsând să se întrevadă din ce în ce mai mult raportul adevărat al bilelor albe şi negre... Raportul efectelor naturii este cu atât mai constant cu cât numărul probelor este mai mare. Nimic nu face excepţie de la această regulă: raportul naşterilor anuale, sporul natural, variază numai puţin în timpuri obişnuite”.

            Am citat exhaustiv din ultimele pasaje deoarece mi se pare că Laplace face o diferenţă ontologică între probabilitatea iniţială, apriori, înainte de începerea experimentului, care este gnoseologică, pistimetrică ( = măsoară credinţa în realizarea evenimentului) şi cea finală, aposteriori care capătă o nuanţă mai obiectivă, publică, întrunind oarecum consensul: frecvenţa relativă se apropie de cea „adevărată” care înseamnă că nu este un grad de certitudine, ci o „dezvoltare a posibilităţilor”. Şcoala subiectivistă de mai târziu va numi acest fenomen „obiectivizarea probabilităţii”([28]).

            Termenul de independenţă, care reprezintă miezul teoriei probabilităţilor, nu este definit decât vag în principiul nr. 3 ([32]) al „înmulţirii probabilităţilor independente”; în judecata de independenţă a fenomenelor trebuie multă grijă, deoarece ea „se pretează cel mai uşor la iluzii”.

            Totuşi, critica cea mai serioasă care s-a adus definiţiei lui Laplace a probabilităţii ca raportul între cazurile favorabile şi cele egal posibile este că

            1. Se bazează pe un cerc vicios: „Unul din trucurile lui Laplace era folosirea cuvântului „egal posibil” în loc de „egal probabil” şi de a pretinde apoi că a dat o definiţie coerentă. Astăzi escamotarea lui verbală nu mai păcăleşte pe nimeni (Good, [20]), Cournot (1843), Venn (1866) au întrebat: cum poţi dovedi că un zar nu e falsificat altfel decât aruncându-l de un număr de ori ?”. Poincaré, în cursul său din 1896 ([46]) remarcă şi el că definiţia clasică se bazează pe o „petitio principi” dar „se mulţumeşte şă nu facă nimic” după cum remarcă P. Servien ([57]). Curios mi se pare că alţii, de exemplu A. Renzi ([51]) consideră că în definiţia lui Laplace nu este vorba „de nici un cerc vicios” ci că „pur şi simplu nu este o definiţie, ci numai o regulă de stabilire a probabilităţii în anumite cazuri”. La fel pare a considera şi M. Boll ([6]). Dar, în intenţia lui Laplace, nu era vorba de o regulă practică, ci de o dfeiniţie.

            2. Definiţia nu este aplicabilă când numărul cazurilor posibile este infinit; cu ajutorul ei nu se poate da nici un sens propoziţiei „probabilitatea ca un trăgător să nimerească o ţintă este p”. Nici chiar în cazul alternativelor finite (aruncarea cu zarul) ea nu are vreun sens dacă zarul este falsificat. Să remarcăm însă că nici Laplace nu a folosit-o consecvent. Nici nu avea cum, din moment ce tot el introduce, în studiul erorilor repartiţia normală - sau, cum I se spunea mai demult, repartiţia Gauss-Laplace, care este o repartiţie continuă de probabilităţi, iar locul probabilităţilor elementare este luat de o „densitate de probabilitate” - introdusă tot de Laplace.

            Laplace s-a ocupat şi de aplicarea teoriei probabilităţilor în studiul erorilor de măsurare (pe linia aceasta a fost continuat de Gauss care a folosit primul metoda celor mai mici pătrate), a dat prima versiune a teoremei limită centrală, care spune, în mare că în procesul măsurării unor variabile aleatoare, mediile aritmetice tind să fie repartizate normal, a aplicat teoria în procesele de asigurări, în ştiinţele juridice, etc. El este considerat, pe drept cuvânt creatorul statisticii matematice.

            Oricum, echivocurile şi contradicţiile lui au fost un motor care a împins teoria probabilităţilor mai departe, atât pe plan matematic cât şi pe plan filosofic, al meditaţiilor asupra posibilităţilor de aplicare ale ei.

§2.2. OBIECTIVISMUL LUI A. COURNOT

            Deşi nu prea cunoscute în timpul vieţii sale (1801 - 1877), ideile lui Cournot au influenţat interpretarea frecvenţialistă de mai târziu a probabilităţii precum şi pe aceea susţinută de cercetătorii marxişti, precum şi pe Bertrand şi Poincaré [2], [45]. De la început vom spune că el a fost, poate, primul filosof al ştiinţei în accepţiunea modernă a termenului; preocupările sale nu s-au limitat numai la interpretarea teoriei probabilităţilor ci la problema mult mai dificilă a semnificaţiei adecvării formalului la real. Era cunoscut la vremea sa mai mult ca matematician - economist (primul care a dat rezultate netriviale privind aplicarea responsabilă a matematicii în economie, în „Bazele matematice ale teoriei bogăţiei”, paris 1838). Cartea a avut influenţă în gândirea economică a secolului. Un biograf, Irving Fisher scria în 1898 ([15']): „În prezent Cournot rămâne viabil în primul rând ca economist şi nu ca matematician sau filosof”. Dimpotrivă, în introducerea la traducerea rusă [11], A.L. Vainştain scrie: „ ...ideile lui Cournot în domeniul teoriei probabilităţilor au depăşit cu multe decenii epoca lor”. Sunt de acord mai degrabă cu ultima apreciere. Cartea sa din 1843 „Exposition de la théorie des chances et des probabilités” prezintă un mare interes, nu numai istoric ci şi filosofic în ceea ce priveşte interpretările şi aplicaţiile Teoriei Probabilităţilor. Este remarcabil faptul că de-a lungul anilor care au urmat, Cournot a manifestat o mare stabilitate în ceea ce priveşte ideile principale, după cum reiese din articolele şi lucrările care au urmat. De altfel filosofia cournotiană derivă, în principal, din meditaţiile lui asupra noţiunii de probabilitate şi şansă, după cum este clar dacă aruncăm o privire pe opera lui filosofică fundamentală, „Essai sur les fondemnets des nos connaisances et sur le caractére de la critique philosofique”, apărut în 1851.

            Cournot a fost un elev al lui Laplace, dar un discipol original, care s-a depărtat de maestrul său în multe probleme esenţiale. Mai întâi în ceea ce priveşte semnificaţia aleatorului, el a produs o interpretare obiectivistă, deja discutată în §1.2. Amintesc numai că Cournot nu admite existenţa unui aleator care marchează numai ignoranţa noastră.

            În ceea ce priveşte interpretarea conceptului de probabilitate, aceasta este considerată de asemenea ca reflectând ceva obiectiv. După ce argumentează că scopul cărţii [11] este „să rectifice erorile, echivocurile şi obscurităţile premergătorilor”, „să fie mai bine înţeleasă noţiunea de şansă, probabilitate, hazard” şi, mai ales, să separe sensul matematic şi cel filosofic al noţiunii de probabilitate. El este primul care vorbeşte despre „şanse reale”. Echivocurile în interpretarea noţiunilor probabilistice provin din faptul că teoria se aplică la două genuri de probleme distincte: la probleme de „posibilitate” - care, pentru el are valoare obiectivă - şi la cele de „probabilitate” - care are o nuanţă subiectivă. Probabilitatea are dublu sens: primul ca o măsură a posibilităţii reale a lucrurilor (probabilitatea fizică revelată prin frecvenţă) şi al doilea ca măsură a încrederii noastre (probabilitatea pistimetrică dată apriori). Intenţia iniţială a autorului - după cum mărturiseşte în introducere - era să evite pe cât posibil echivocul termenului folosind, peste tot unde se putea sinonimele „posibilitate” şi „şansă”, dar în cele din urmă a găsit-o inconvenabilă deoarece ar fi îngreunat expunerea. În definitiv, după cum spunea Savage, nimeni nu este atât de copernican ca să nu spună „Soarele răsare”.

            Probabilitatea apariţiei feţei 6 la un zar nu ţine de părerea subiectivă a cuiva, ci „rezidă în structura fizică a zarului” şi geometrii care nu văd aceasta „riscă să cadă în cele mai stranii capcane”. Deosebirea între o judecată obiectivă şi una subiectivă se vede în următorul exemplu: „Când la un joc cu zaruri afirm că probabilitatea apariţiei feţei 6 este ” - afirmă Cournot [11] - „este vorba fie de o judecată obiectivă (dacă ştim că zarul este perfect) fie de una subiectivă de genul: nu ştiu dacă zarul este fals, şi dacă da, nu ştiu cum anume”.

            Sensul termenului de „probabilitate aposteriori” este oarecum diferit la Cournot de cel conferit de Laplace (de fapt, chiar Laplace lăsase loc pentru o asemenea interpretare în comentariile la legea numerelor mari) în anumite locuri: este tot o probabilitate subiectivă al cărei singur rol era o refixare a pariurilor după jucarea mai multor partide. La Laplace, probabilitatea aposteriori se calcula pe baza teoremei lui Bayes* căreia i se conferea o interpretare subiectivistă. La Cournot, valoarea obiectivă a ei rezidă tocmai în teorema lui Bayes, care, la eşantioane mari se confundă aproape cu teorema lui Bernoulli - legea numerelor mari. Dacă experimentul aleator este efectuat în condiţii riguros definite, atunci judecata care asupra rezultatelor experienţei va avea o valoare obiectivă. Dacă nu, ea va fi relativă, o expresie a cunoaşterii parţiale.

            Probabilitatea subiectivă, pistimetrică, are totuşi o valoare în aceea că dă o regulă de conduită. Valorile ei numerice nu vor desemna decât anumite preferinţe; ele nu sunt măsuri în adevăratul înţeles al cuvântului.

De aceea „ar trebui aruncate afară din aplicaţiile unei teorii matemtice care are drept obiect mărimile care pot fi riguros comparate cu unitatea de măsură şi raporturile care există între lucruri, independent de spiritul care le cunoaşte”([11], §43)

            Întotdeauna, însă, probabilitatea matematică ( = obiectivă) nu poate fi cunoscută decât prin experienţă, cu o aproximaţie cu atât mai bună, cu cât experienţa este mai extinsă. La eşantioane mici, „formulele matematice deduse sunt pur subiective şi nu permit vreo concluzie pentru viitor.”

            Ca să poată interpreta obiectivist Legea numerelor mari, Cournot a introdus conceptele duale de necesitate şi imposibilitate fizică. Teorema Bernoulli a numerelor mari afirmă că frecvenţa relativă converge la probabilitatea fizică a evenimentului, într-un anume sens. În această formulare, însă, teorema nu are absolut nici o semnificaţie fizică. Ca o afirmaţie de convergenţă să aibă vreo semnificaţie fizică ar trebui spus, măcar vag, câte ceva despre viteza de convergenţă. De exemplu, noi ştim teoretic că , , este un şir care converge la infinit. Să zicem că un fenomen se petrece după această regulă şi n numără secundele; fenomenul a început să se producă la crearea sistemului solar. Atunci, pe parcursul întregii civilizaţii umane (socotită convenţional 1983 1000000 ani ???) acest şir abia s-ar modifica de la  la ; aşadar, el ar reprezenta din punct de vedere fizic o constantă, mai constantă chiar decât lungimea zilei (despre care se ştie că se măreşte cu 0,01 secunde pe secol).

            Pentru a da legii numerelor mari semnificaţia ei de punte de legătură între probabilitate şi frecvenţă, între construcţia logico-matematică bazată pe conceptul de egală posobilitate şi fenomenele reale, obţinute ca rezultate ale unor experienţe aleatoare, lui Cournot îi mai trebuia o supoziţie ontologică: trebuia presupus că evenimentele foarte puţin probabile pur şi simplu nu se întâmplă. Acesta a fost denumit de el „postulatul imposibilităţii fizice”. Iată cum îl argumentează:

            „În teoria probabilităţilor, termenul de comparaţie nu este certitudine raţională, metafizică, absolută, ci evenimentul cert fizic (astăzi am spune „cert practic”) a cărui probabilitate diferă de 1 cu o cantitate infinit de mică, adică el are numai o singură şansă să nu apară contra unei inifinităţi de şanse care îl implică”. Ca un exemplu, dă cazul zarului „În cazul unui zar (probabil perfect, n.n.) este fizic sigur că la un număr mare de probe, frecvenţa apariţiei feţei cu şase puncte ar fi undeva aproape de . Este imposibil fizic ca la o serie mare de aruncări să apară numai 6. În sine, fenomenul este posibil: presupunând că la fiecare aruncare apare 6 nu ajungem la nici o contradicţie; dar cum este numai o şansă ca evenimetul să se întâmple contra unei infinităţi de şanse care îl exclud, el nu se va întâmpla. Analog, dacă arunc o sferă jos, este imposibil fizic să se oprească exact pe ecuator, ca un con să stea în vîrf dacă este suficient de ascuţit, să găseşti exact centrul unui cerc este un fenomen mai puţin posibil fizic decât extracţia unicei bile albe dintr-un vagon de bile negre, de către un orb. Un asemenea hazard este respins ca fiind imposibil fizic”. În alt loc este şi mai tranşant (§13): „Când printr-o infinitate de şanse există una care poate duce la realizarea evenimentului, atunci acest eveniment este considerat fizic imposibil”.

            I s-ar putea obiecta lui Cournot, astăzi:

1. Definiţia sa matematică a probabilităţii este cea a lui Laplace ([11], §11-26), în măsura în care este ceva riguros, pentru că tot acelaşi autor tratează şi cîteva probabilităţi continui, geometrice lăsând înţelesul noţiunii de probabilitate la discreţia bunului plac al cititorului cusurgiu: „Probabilitatea este raportul între întinderea şanselor favorabile evenimentului şi întinderea generală a tuturor şanselor” ([11], §18). Într-un fel, această definiţie care tinde a unifica definiţia combinatorială şi cea din probabilităţi geometrice, este aproape de definiţia measuristă, deşi încă nu se inventase măsura Lebesgue.

            2. Chiar în cazul alternativelor finite, nu se scapă de cercul vicios al lui Laplace. În plus, mi se pare că se confundă raţionamentele de simetrie care stau la baza judecăţii de „egal posibil” cu ceva obiectiv. Nu văd cum probabilitatea apariţiei unei feţe la aruncarea unui zar perefct rezidă numai în structura zarului (vezi şi al doilea exemplu din Anexa 1). Cred că probabilitatea „adevărată”, obiectivă, depinde la fel de mult şi de contextul experimental în care se face exeprienţa. Dacă introduc probabilitatea prin frecvenţa relativă, nu am nici o garanţie că raţionamentele de simetrie vor duce la acelaşi rezultat, lăsând la o parte faptul că sunt interzis în faţa unor probleme în care acestea nu se pot aplica (aruncarea unei cutii de chibrituri, de exemplu, sau a unui tertaedru neregulat). Probablitatea reală depinde de modul în care arunc zarul uneori la fel de mult ca şi structura lui. A pretinde că probabilitatea asignată evenimentului prin consideraţii teoretice are o valoare obiectivă înseamnă a accepta că ea poate fi verificată practic (măcar principial). Pentru aceasta ar trebui ca evenimentul să poată fi circumscris atât de precis încât să se poată repeta de ori de câte ori este nevoie; este necesară, deci o descriere a contextului experimental.

            Aici apare o problemă mult discutată în literatură: dacă probabilitatea se poate ataşa unui eveniment, sau unei situaţii experimentale care „produc” un şir de evenimente asemănătoare într-un anume sens. Personal, sunt pentru al doilea punct de vedere, după cum am încercat să argumentez şi în §1.4. Întrebarea „Este adevărat că  ?” devine inteligibilă doar dacă suntem de acord că probabilitatea (evident că mă refer la cea fizică) nu este o proprietate a unui eveniment contingent sigur, ci a unei clase de evenimente, deşi poate că lucrurile sunt şi mai complexe.

            Se poate spune, în apărarea punctului de vedere al lui Cournot ( la un zar perfect datorită structurii fizice a zarului) că el a avut în vedere numai aruncări cinstite ale zarului, iar cele din Exemplul 1.2 din Anexa 1 sunt „trucate” şi foarte artificiale. Aşa este, dar atunci ar trebui spus explicit „ cu un zar perfect şi la aruncări cinstite”; a pretinde că aruncarea să fie cinstită, este tot o descriere vagă a unui context experimental, deşi nu matematică. Problema tulburătoare este alta: în multe cazuri, influenţa unui context experimental este neglijabilă, cu excepţia unor cazuri patologice ca cele descrise în exemplul citat mai sus. De ce ? O încercare de justificare, deşi nu satisfăcătoare pentru mine ca matematician, voi încerca în Anexa 3, la problema acului a lui Buffon.

            3. În descrierea conceptului de imposibilitate fizică sub forma , este clar că este vorba de spre probabilitatea fizică. Atunci nu trebuia argumentat că evenimentul este imposibil fizic dacă are o singură şansă de a apărea contra unei inifinităţi care îl exclud, căci aceste şanse nu pot avea niciodată aceeaşi pondere dacă infinitatea despre care se vorbeşte este numărabilă. Se poate foarte bine ca să existe o singură şansă pentru A şi o infinitate pentru non-A, şi totuşi acea unică şansă să aibă pondere la fel de mare ca toate celelalte la un loc. Să considerăm, de exemplu, exemplul timpului de aşteptare până la apariţia stemei la un joc cu banul. Evenimentul A = „stema apare prima dată”, este negat de o infinitate de evenimente „stema apare abia la aruncarea cu numărul n”. Interpretând ad literam ce ne spune Cournot (şi, poate oarecum răuvoitor) este o singură şansă pentru A şi o infinitate de şanse pentru non-A; totuşi, .

            Pe scurt, cred că Cournot nu departajează suficient probabilitatea obiectivă, care nu poate fi decât dedusă din experienţă, aproximativ, şi cea teoretică. Ultima nu este decât o primă aproximare, ipotetică a realităţii. Totuşi ea are o mare valoare euristică în puţinele cazuri în care se poate calcula exact.

            Toate raţionamentele de simetrie se bazează pe faimosul principiu Laplacian al „raţiunii suficiente”: „nu am nici un motiv să consider evenimentul cutare mai posibil decât cutare” este în mod clar ceva subiectiv („nu ai tu nici un motiv, dar poate că eu am” - poate gândi cineva care a văzut cărţile celulalt la o partidă de poker). Totuşi, el conţine şi ceva obiectiv, în măsura în care toate evenimentele seamănă în realtate unul cu altul (feţele zarului). Vreau să spun că în acest caz raţionamentul nu corespunde numai unei lipse de cunoaştere, ci şi unei stări de fapt.

            De altfel, Cornot însuşi era conştient de lipsa de rigoare din consideraţiile sale privind necesitatea fizică; altfel nu-mi explic următorul citat agresiv, dar savuros;([11], §43): „Filosofii sunt mai dificili. Ei nu se vor debarasa de scrupulul că lasă nestudiată acea unică şansă faţă de cele contrarii ei; ei nu recunosc decât ceea ce este demonstrat, tocmai ei, care nu au demonstrat niciodată nimic şi care se contrazic perpetuu.”

            Abstracţie făcând de asemenea limitări - de altfel reparabile, după părerea mea - ideea cornotiană de a folosi necesitatea fizică drept o punte de legătură între probabilitatea matematică şi probabilitatea reală mi se pare deosebit de valoroasă. În definitiv, fără ea nu ar fi posibilă statistica - privită ca o ştiinţă a inferării unor concluzii valide din date numerice. La fel de valoroasă mi se pare şi paralela făcută între certitudinea raţională şi cea fizică; deşi sunt de acelaşi ordin, între ele există deosebiri profunde.

            Acelaşi autor interpretează probabilitatea unui eveniment ca „o măsură a posibilităţii lui de a apărea” (§45), deoarece „este natural să privim fiecare eveniment ca având o anumită predispoziţie de a se manifesta” (§45). Interpretarea aceasta a fost susţinută şi în filosofia marxistă; astăzi ea este numită interpretarea propensionalistă a probabilităţii (propensity = tendinţă), susţinută şi de alţi filosofi (Popper, 1959, Giere, Hacking). Eu consider că propensitatea se referă mai degrabă la tendinţa unei situaţii experimentale de a produce un eveniment sau altul, decât evenimentul respectiv.

            În ceea ce priveşte statutul teoretic al probabilităţii teoretice, apriori, Cournot arată că el nu este pur subiectiv. Probabilitatea unui eveniment nu există real, în lumea fenomenală, aşa cum nu există real nici forţa, masa sau meridianul Greeenwich. Ea există abstract. Semnificaţia ei obiectivă este că, pornind de la aceleaşi ipoteze, toţi matematicienii îi vor găsi aceeaşi valoare. În acest sens, ea este independentă de părerile individuale, subiective. Ea slujeşte ca un instrument de cunoaştere a lumii exterioare, iar legătura existentă între ea şi frecvenţa relativă permite decelarea unor legi acolo unde principiul cauzal obişnuit, al determinismului mecanic eşuează.

            Valoroasă mi se pare şi discuţia lui Cournot privind delimitarea între Probabilitate matematică şi cea „filosofică”, adică a teoriilor ştiinţifice. Prin ea, Cournot se manifestă ca un întemeietor al epistemologiei moderne. Conceptul cheie avut în cedere în această discuţie este cel de solidaritate a cunoştinţelor (astăzi filosofii ştiinţei îi zic „coroborare”), cel de „ordine” şi „hazard”.

            Dacă vedem un şir de numere care începe cu 1, 4, 9, 16, 25, ... vom fi de acord că, probabil următorul va fi 36. Pe ce se bazează convingerea noastră ? Pe simplitatea legii . Unde vedem o lege simplă - afirmă Cournot - spunem că există o ordine; „ne repugnă să credem că este vorba numai de hazard. Unde nu putem să o vedem, considerăm că mai degrabă avem de a face cu un şir aleator.”

            Mai mult, dacă următorul număr ar fi într-adevăr 36, vom crede cu atât mai mult că ; convingerea nu ne va părăsi nici dacă următoarele numere vor fi 48, 63, 83, 97,... ci am bănui că peste legea fundamentală şi simplă imaginată de noi se suprapun „perturbaţii aleatoare”. Astfel se ajunge la complicata problemă a probabilităţii teoriilor. Acest concept, insistă el, nu poate fi tratat matematic, ci este de resortul filosofiei. Pentru a putea face reducerea problemei la matematică, ar trebui:

            1. Să se stabilească două tipuri de legi: simple şi complicate;

            2. Celor simple să li se ataşeze un coeficient de simplitate şi să se clasifice.

Dar „toate aceste deziderate sunt, cel puţin la ora actuală, utopice”. Probabilitatea unei teorii depinde de simplitatea ei, de numărul de fapte înglobate şi de puterea ei de predicţie. Dacă faptele noi se încadrează teoriei, convingerea noastră creşte că avem de-a face cu o lege a naturii. Chiar dacă apar mai apoi neregularităţi, nu vom renunţa la ea prea uşor (acest fenomen îl numeşte inerţia teoriilor dată de faptul că în fiecare s-a înmagazinat un volum de muncă şi inteligenţă umană) ci încercăm să o corectăm, să găsim cauzele perturbatoare şi să le includem şi pe ele în modelul nostru. Dacă, după noi observaţii, teoria trebuie mereu reiterată, începem să ne îndoim de ea şi să o considerăm din ce în ce mai mult un eşafodaj artificial; procesul renunţării la ea încă va mai dura. Lovitura de graţie o primeşte de abia când apare o teorie rivală care explică mai simplu aceleaşi fapte (Sistemul copernician faţă de cel al lui Ptolemeu, teoria oxidării faţă de teoria flogisticului, etc.).

            Ceea ce este important, remarcă Cournot este că acordul cu faptele nu este suficient pentru a considera o teorie adevărată. Acest acord nu este o demonstraţie matematică şi el nu va putea convinge niciodată un sceptic că nu se mai poate explica şi altfel, şi că o explicaţie nu este o convenţie. Acest acord cu faptele conferă teoriei numai o probabilitate filosofică. Pe baza noţiunii de probabilitate filosofică, Cournot explică raţionamentul prin inducţie şi prin analogie. Este vorba însă de un cerc de probleme care depăşesc cadrul lucrării de faţă.

            Esenţa este că ambele tipuri de raţionament îşi trag seva din structura minţii noastre, căreia îi repugnă aleatorul. Probabilitatea filosofică diferă esenţial de cea matematică prin aceea că nu este cuantificabilă. Ea dă naştere unor convingeri care nu pot fi dozate exact şi uneori duc chiar la „certitudinea morală” dacă se „solidarizează” între ele. Probabilitatea filosofică ghidează şi savantul şi omul de rând. Ea este o probabilitate subiectivă sui generis. „În măsura în care acest instrument obscur este cenzurat de raţiune, el poate fi considerat marca geniului” – comentează F. Mentré în /36/. Mai mult, continuă acelaşi autor, „el nu se aplică numai la cercetarea legilor naturii, ci în orice cercetare febrilă. Tot el păzeşte omul de ştiinţă de capcana relativismului agnostic”.

            Totul este – accentuează Cournot – ca probabilitatea filosofică să nu fie confundată cu cea matematică. Laplace cade şi el în această eroare atunci când în /33/ calculează probabilitatea ca mâine soarele să nu mai răsară, găsind-o egală, aproximativ cu . Calculul este iluzoriu, întreprinderea zadarnică: asemenea probabilităţi nu se pot calcula; sub cifrele care apar este greu săs sesizezi ceva obiectiv. Totuşi, deşi a semnalat pericolul confundării planului matematic cu cel epistemologic, Cournot a comis şi el eroarea respectivă atunci când în [11] a perpetuat procupările lui Laplace şi Poisson de aplicare a teoriei probabilităţilor la chestiuni juridice, deja denunţate de J. Stuart Mill ca un „scandal matematic” căci „ipotezele matematice nu au nimic de-a face cu situaţia unui acuzat în boxă” (J. Bertrand, [2]).

            Ideile lui Laplace corectate de Cournot au influenţat preocupările filosofice de interpretare a calculului probabilităţilor ale mai multor generaţii de probabilişti francezi: J. Bertrand, E. Borel, M. Boll. Meditaţiile lor se referă la probleme cu o lungă carieră în discuţiile şcolii franceze (şi nu numai !): este vorba despre paradoxul de la Petersburg, de mărimea lui  pentru care avem dreptul să decretăm că A este practic imposibil şi la paradoxul situaţiei că într-o serie de n aruncări (de exemplu ) toate combinaţiile care apar sunt practic imposibile şi totuşi, una din ele se produce.

            J. Bertrand, celebru prin paradoxul său în care arată că nu se poate face extensia noţiunii de probabilitate de la un număr finit de cazuri fără anumite precauţii fără a ajunge la situaţii absurde, şi-a expus ideile sale legate de noţiunea de probabilitate într-un eseu, mult citat mai apoi, intitulat „Les lois du hazard”, scris ca prefaţă la [2]. Eseul este scris de o manieră popularizatoare, fără spiritul riguros al lui Cournot, care totuşi nu a avut forţa matematică a lui Bertrand. Pentru acesta din urmă, faptul că probabilitatea apariţiei stemei la un joc de aruncare cu banul este  sau că probabilitatea apariţiei unui as la aruncarea cu zarul este  este o lege a naturii, pe care nu are rost să încercăm a o explica, ci să o luăm ca atare. Nu are rost să lămurim ce înseamnă hazard pentru că prin acest termen „toată lumea înţelege acelaşi lucru”. La fel, independenţa aruncărilor cu moneda înseamnă că „banul nu are memorie”, iar legea numerelor mari este, după cum îi spune numele, o „lege” decât o teoremă. Ea exprimă faptul că „dacă într-o duminică plouă în piaţa x din Paris, toate pietrele caldarâmului vor fi la fel de ude... Aceasta este puterea numerelor mari. Hazardul are capricii, nu şi obiceiuri. Dacă 1000 de picături pică peste 1000 de pietre de caldarâm, nu înseamnă că fiecare piatră îşi va avea picătura ei; dar dacă un miliard de picături fac acelaşi lucru, fiecare piatră va primi în jur de un milion de picături. Raporturile sunt sigure, nu diferenţele (deşi diferenţele ruinează)”.

            Pe lângă această probabilitate, care este obiectivă, logică, mai există încă una, subiectivă: „un geometru a găsit o nouă demonstraţie a teoremei lui Bernoulli; prives demonstraţia, nu găsesc nici o eroare, spun că e bine, metoda lui este valoroasă. Acelaşi geometru vine la mine peste câteva zile cu o demonstraţie a marii teoreme a lui Fermat. Examinez principiul, parcurg calculele, verific unele din ele, nu gasesc nimic de obiectat. Totuşi, continuu să caut eroarea. De ce ? Pentru că teorema lui Fermat nu a fost demonstrată, şansele unui eşec sunt foarte mari. Experienţa arată mai mult de 100 de demonstraţii greşite” (Astăzi sunt peste o mie, n.n.)

            În această introducere, Bertrand studiază şi paradoxul din Petersburg. Este vorba despre următorul joc: jucătorul x joacă cu banca prin aruncarea unei monede. Dacă apare stema, x pierde miza. Dacă apare banul, x câştigă 2 lei şi are dreptul să continue. În general, fiecare serie de n bani urmată de o stemă este răsplătită cu  lei. De exemplu, seria 000001 (0 = ban) valorează  lei. Problema este: ce miză să depună jucătorul pentru a juca acest joc ? Răspunsul este că un joc este echitabil dacă miza coincide cu valoarea medie a câştigului, care în cazul acesta este infinit. Aşadar un jucător poate plăti o sumă oricât de mare căci repetând la nesfârşit partidele este sigur că va ruina banca. Paradoxul constă în aceea că nici un om sănătos nu ar juca un asemenea joc „echitabil”, nici măcar cu o miză de 100 lei. D’Alembert spunea că „cunoaşte cinci sau şase soluţii ale paradoxului care nu se potrivesc una cu alta”; a propus şi el două, inacceptabile, după Bertrand. Buffon, Bernoulli şi mai ales Laplace rezolvă paradoxul prin conceptul de „avere morală” care creşte asimptotic spre o limită finită când averea adevărată tinde la infinit şi să se pună drept miză averea morală medie sperată. Jeffrey [28] îl soluţionează refuzând să joace şi acuzând banca de escrocherie: pretinde că are o avere infinită, ceea ce nu este adevărat. În ceea ce-l priveşte pe Bertrand, el consideră că „ar trebui acceptat de bun răsounsul absurd. X are un milion şi îl dă să joace. E nebun ! se va zice. E o aventură, dar excelentă; avantajul infinit este realizabil. Dacă joacă cu încăpăţânare, va pierde 100 de milioane, un miliard, dar victoria lui este sigură. În ce secol ? Nu se ştie !”

            Vom recunoaşte că soluţia propusă nu este o rezolvare serioasă a paradoxului. După părerea mea, ar trebui să plecăm de la premisa că ceea ce este prea improbabil nu se întâmplă, la o singură efectuare a experimentului. Dacă banca are la dispoziţie  lei (ceva peste un miliard) şi îşi planifică o afacere în genul acestui joc, în care prevede 100 de milioane de jocuri, poate cere liniştită o taxă de participare de 16 lei; probabilitatea ca ea să se fi ruinat înainte de sfârşitul jocului va fi mai mică decât 5%; în schimb, probabilitatea ca ea să aibă un beneficiu mai mare de 200 milioane lei este mai mare de 90%. Dacă ar dubla taxa de participare, probabilitatea de ruină ar fi sub 1%, dar este îndoielnic că se vor găsi mulţi dispuşi să plătească 32 de lei având  şansă să nu piardă.

* Teorema lui Bayes este următoarea afirmaţie trivială: dacă ,...,  constituie o alternativă (adică sunt evenimente disjuncte şi , atunci pentru orice alt eveniment A au loc relaţiile .

Interpretarea relaţiilor de mai sus a dat naştere la dispute între subiectivişti şi frecvenţialişti. În teoria clasică se interpretează ca ipoteză iar A ca un rezultat experimental,  este probabilitatea apriori a ipotezei ,  - verosimilitatea lui A în ipoteza , iar  - probabilitatea aposteriori a lui .