I. CONCEPTE PRELIMINARE

§1.1. NECESITATE ŞI ÎNTÂMPLARE

            În cele ce urmează voi admite fără alte comentarii următoarele teze:

            1. Există în afara noastră o realitate obiectivă, spaţio-temporală numiă univers sau materie. Materia este organizată la diferite niveluri cantitative (macrocosmosul sistemelor solare, cosmosul vieţii de zi cu zi, microcosmosul atomilor şi particulelor elementare) şi calitative (fizic, chimic, biologic şi social). Sistemele materiale de acelaşi ordin de mărime se influenţează între ele mai mult sau mai puţin; cele mai mici participă la alcătuirea celor mai mari; ele sunt legate prin conexiunea universală.

            2. Omul şi societatea umană reprezintă o porţiune din această realitate obiectivă caracterizată, printre altele printr-un mod sui generis de reflectare a realului şi a conexiunilor lui. Aceasta este cunoaşterea.

            3. În orice fapt de cunoaştere există reflectarea unui dat obiectiv dar şi anumite structuri biologice specifice omului. De aceea ea este exclusiv umană. Anumite fapte de cunoaştere se reidică la gradul de a fi obiective. Criteriul care duce la obiectivitate este practica social - istorică, consensul oamenilor, coroborarea între nivelul perceptual şi cel teoretic.

            4. Cunoaşterea se realizează prin percepţie şi prin teorie (raţiune). Când între ele apar divergenţe ele se rezolvă de obicei în favoarea ultimei (de ex. Heliocentrismul a câştigat faţă de geocentrism deşi contrazicea percepţia; el este respins şi astăzi de oamenii fără educaţie). Un caz particular de teorii sunt cele formale, şi printre ele, cele matematice. Ele, deşi provenite din realitatea nemijlocită, nu se referă totuşi la ea: ele poartă asupra propriului lor corp de concepte şi axiome şi sunt ipotetico-deductive. Dacă p este adevărat, atunci q este adevărat - aceasta este tot ce pot ele să ne spună. Enunţul „p” este considerat adevărat (respectiv fals) dacă el (respectiv negarea lui) poate fi dedus din axiome prin reguli. Adecvarea lor la real nu este o problemă simplu de înţeles şi, de altfel depăşeşte cadrul lucrării de faţă. Să reţinem că, uneori, „fără să ştim prea bine de ce” (Bourbaki, [50]) modele matematice se potrivesc unui sector al realului.

            În conexiunea universală se decelează sectoare cu anumite regularităţi frapante pentru cercetător (unele sunt văzute de toată lumea, iar altele numai de cei iniţiaţi); ele sunt semnul distinctiv al necesităţii. Omul de ştiinţă încearcă să le explice aruncând asupra lumii o plasă de ipoteze şi conjecturi. În alte serii de evenimente nu se poate găsi nici un fel de ordine şi spunem că sunt efectul întâmplării. Necesitatea şi întâmplarea sunt două faţete corelative ale conexiunii universale. Nici una, nici cealaltă nu apar în stare pură. Dacă arunc o piatră în sus, ea va cădea întotdeauna înapoi (necesitatea) dar locul exact unde se va opri este întâmplător. Pe de altă parte statutul ontic al acestor categorii este destul de complicat; este o mixtură de obiectiv şi subiectiv. Nici un om sănătos nu va spune că piatra cade înapoi din întâmplare (deşi există o întreagă tradiţie filosofică după care legile naturii sunt contingente) - dar pot fi mulţi care să spună că a căzut aici şi nu în altă parte pentru că aşa trebuia, era necesar să se întâmple astfel (o întreagă linie filosofică pornind de la Democrit şi continuând cu Spinoza şi Laplace). Vrea să spun prin acst exemplu că, totuşi necesitatea mi se pare „mai obiectivă” decât întâmplarea cel puţin în ceea ce priveşte consensul recunoaşterii primeia. Ordinea este mai uşor de recunoscut decât dezordinea. Kneale scrie în [29] că „De fapt cuvântul necesitate este cel mai puţin problematic dintre cele cu care avem de-a face în acest domeniu al filosofiei”(adică al filosofiei probabilităţii n.n.)

            În literatura marxistă se insistă asupra unităţii dialectice între necesar şi întâmplător şi asupra caracterului relativ al deosebirii între ele. Engels subliniază în „Dialectica Naturii” că întâmplarea reprezintă o formă de manifestare a necesităţii şi că necesitatea îşi croieşte drum prin mulţimea întâmplărilor ca tendinţă dominantă. După cum se arată în manualul [35], notele caracteristice ale necesităţii sunt obligativitatea, inevitabilitatea apariţiei.

            În Dicţionarul de Filosofie (1978) este dată următoarea definiţie (pg. 490): „Necesitatea desemnează însuşirile care au un temei intern, decurgând inevitabil din esenţa lucrurilor, din legile lor de dezvoltare. Întâmplarea desemnează însuşiri şi raporturi care au un temei extern, fiind în consecinţă neesenţiale”. Recunosc aici definiţia lui Hegel (citată din [35], pg. 230): „Întâmplătorul este ceva ce poate să fie sau poate să nu fie, poate să fie aşa sau altfel (şi a cărui fiinţă sau nefiinţă, a cărui fiinţare într-un fel sau altul este întemeiată nu în el însişi, ci în altul)”. Recunosc că este foarte greu de dat o definiţie, dar a include conceptul de lege în definirea necesarului mi se pare deja un cerc vicios. Pe de altă parte să luăm exemplul cu piatra aruncată în sus. Nu cade la loc fiind atrasă de pământ ? Şi atunci temeiul căderii ei nu este extern ? Aşadar cade la loc întâmplător ?

            A. Cournot [11] distinge între necesitatea logică şi cea naturală. Definiţia ultimeia se bazează pe conceptul de probabilitate, aşa că o voi studia în §2.2. Reţin numai că necesitatea logică este mai uşor de înţeles decât cea naturală: teoremele, şi numai ele sunt necesare. Pentru Leibniz, legile naturii au un caracter contingent dacă le comparăm cu tautologiile logice: Dumnezeu ar fi creat lumea „într-un sens oarecum asemănător cu acela în care un artist compune un sonet, un rondou, o sonată sau o fugă” ([47], pg.403). Putea să o facă şi altfel. Este adevărat că se poate gândi ce s-ar întâmpla dacă timpul ar curge invers, dacă s-ar putea realiya penetrabilitatea materiei, etc. Exact aceasta şi fac autorii de romane ştiinţifico-fantastice. Dar nu se poate gândi ce ar fi dacă  sau dacă p ar implica non p. Aşadar trebuie distins între diferitele tipuri de necesitate. M. Marković ([1], pg.968) distinge între:

            1. Necesitatea logică (relativă la un sistem formal, independentă de orice tip particular de experienţă - analitică şi a priori. Ea nu poate fi totuşi independentă „de experienţa umană în general şi de realitate in toto, deoarece atunci ar fi vorba de ficţiuni arbitrare ale unei minţi alienate”)

            2. Necesitate empirică (poartă asupra unor segmente particulare din realitate şi este pusă în evidenţă de tipuri concrete de experienţe; este sintetică şi a posteriori)

            3. Necesitatea fizică (caz particular al lui 2; se referă la obiecte fizice - adică existând obiectiv, putând fi localizate în spaţiu şi timp şi având proprietăţi de masă sau energie). Conceptul presupune:

                        a) o structură reală a obiectelor,

                        b) un corp de cunoştinţe care preced cercetarea şi

                        c) un set de aserţiuni valorice din care să rezulte ce anume este considerat esenţial,                     relevant, normal, semnificativ şi adecvat şi ce anume ar trebui considerat neesenţial,                      anormal, irelevant

În plus se pleacă de la premiza ontologică a unui minim de ordine în lumea reală, fără de care noţiunea şi-ar pierde sensul.

            În lumea reală este totuşi mai puţină ordine decât în teoriile noastre - arată acelaşi autor. De aceea conceptul de necesitate fizică trebuie înţeles flexibil, într-o manieră istorică: teoriile noastre sunt aproximări imperfecte ale realului şi abateri de la legile necesare sunt permanent posibile. Ele par accidentale, întâmplătoare în sistemul actual, dar, este posibil de imaginat că într-un alt model fizic vor fi necesare. Relativitatea distincţiei între necesar şi întâmplător este atât ontologică, cât şi epistemologică - ţinând de un sistem de referinţă. În plus mai apre şi o relativizare axiologică (Lorentz explica rezultatul experienşei Michelson-Morley prin scurtarea corpurilor ca efect al rezistenţei eterului: păstra spaţiul şi timpul absolute, dar legile fizicii se relativizau în raport cu sistemul de referinţă. Einstein a preferat să relativizeze spaţiul şi timpul pentru a asigura invarianţa legilor fizicii la schimbarea sistemului de referinţă inerţial).

            În cadrul necesităţii fizice autorul distinge trei tipuri:

            3.1. Necesitate strictă. Aşa numitele „legi dinamice”: dându-se poziţia iniţială şi viteza iniţială se prevede poziţia la orice timp ulterior. Apare la sisteme simple cu un mic număr de factori relevanţi.

            3.2. Necesitate tendenţială. Este vorba de legile statistice caracterizate prin predicţii de frecvenţă, şi în care se vede o tendinţă centrală: temperatura medie într-un loc în funcţie de anotimp.

            3.3. Necesitate negativă, în sensul lui Spinoza („Determinatio negatio est”): nu exită o tendinţă centarlă: legile nu pot decât să marginească un set de posibilităţi, fără a se întrevedea o tendinţă centrală. La aruncarea cu zarul, se ştie totuşi că zarul nu va rămâne în aer, nu se va opri pe un colţ şi nu se va rostogoli la nesfârşit.

            Mi se pare totuşi că ultimul tip este prea larg pentru a se încadra în conceptul de necesitate; oricum, o necesitate de tipul 3.3 este trivială şi nu poate satisface nici un om de ştiinţă. El va încerca să treacă la tipul 3.2., încercând să estimeze măsura probabilităţilor care apar, adică, să facă predicţii de frecvenţă. Cu alte cuvinte îşi va pune problema să calculeze diferitele probabilităţi care apar.

§1.2. DESPRE ALEATOR

            În zecile de milenii de evoluţie, în toate limbile pământului au apărut cuvinte ca „întâmplător”, „contingent”, „poate că ...”, „şansă”, „noroc”, „soartă”, „hazard”, „aleator”, „ghinion”, „accident”, „caz”, etc. Caracteristica lor principală este că se referă la o lipsă de cunoaştere. Sub ele se ascunde referirea la un anumit tip de fenomene caracterizate prin faptul că sunt inprevizibile. K. Popper scrie ([47], pg.168): „Evenimentele aleatorii au drept caracteristică particulară „imprevizibilitatea”... despre ele suntem înclinaţi să credem că orice metodă raţională de a prevedea apariţia lor este sortită eşecului. Avem într-un fel sentimentul că nu un om de ştiinţă, ci numai un profet le-ar putea prezice”.

            Cum şi când apare aleatorul ?

            Să considerăm următorul exemplu de aruncare cu banul: aşezăm o monedă pe colţul unei mese în aceeaşi poziţie (de exemplu cu stema în sus) şi cu steluţa de la stemă pe bisectoarea colţului mesei. Să o împingem apoi cu grijă pe direcţia bisectoarei, pînă cade singură pe parchet sau ciment. Să repetăm această experienţă de câteva ori, notând rezultatul apărut. (În Anexa 1 sunt prezentate rezultatele în urma a 1000 de experienţe.) Vom vedea că, deşi condiţiile iniţiale au fost, pe cât posibil, identice rezultatul (apariţia banului sau a stemei) continuă să rămână imprevizibil. Este adevărat că, dacă banul este mai uşor, suprafaţa pe care este mai absorbantă (covor) şi dacă înălţimea de la care se lasă moneda să cadă este mai mică (un scăunel), se va observa o preferinţă pentru una din feţe, totuşi rezultatele individuale continuă să fie imprevizibile. Am putea imagina un dispozitiv capabil să dea drumul monezii să cadă din aceeaşi poziţie dar de la o înălţime reglabilă. Vom vedea că, dacă înălţimea este suficient de mică, experimentul va da rezultate deterministeş moneda va cădea mereu pe aceeaşi parte. Dar, începând cu o înălţime  vor începe să apară ambele feţe. Caracterul experimentului devine brusc aleator în sensul că, deşi o faţă va fi favorizată, nu vom putea spune când, la a câta aruncare apare faţa opusă.

            Dintr-un alt punct de vedere, trecerea nu este totuşi bruscă, ci continuă: cu cât înălţimea de la care cade banul este mai mare, cu atât rezultatul este „mai aleator” în sensul că frecvenţa apariţiei feţei defavorizate va fi la început foarte mică, „neglijabilă”. Dacă inventăm o teorie ad hoc care prezice că pentru înălţimea h cutare (mică) banul va cădea mereu pe faţa favorizată, ea va fi acceptabilă practic, la fel cum teoria gravitaţiei a lui Newton era acceptabilă practic în ciuda nepotrivirii ei pentru Saturn (mă refer la perioada premergătoare descoperirii planetei Uranus. Newton însuşi era dispus să accepte o oarecare contingenţă a principiului său: din când în când apărea divinitatea ca să corecteze micile dezordini care păreau să apară la periferia sistemului solar).

            Ce este esenţial fenomenelor aleatorii este că mici schimbări ale stării iniţiale, imposibil de măsurat cu ajutorul instrumentelor actuale, produc modificări mari ale rezultatului final.

            Kolmogorov ([44'],1951) distingea trei moduri de intervenţie a stocasticului în desfăşurarea proceselor reale:

            1. Desfăşurarea procesului este subordonată unor legi riguroase, care îl definesc univoc pe baza condiţiilor iniţiale, dar aceste condiţii iniţiale sunt aleatoare, în sensul că nu mai pot fi reproduse exact la o nouă reluare a experimentului. De exemplu aruncarea zarului (în vid aş adăuga eu)

            2. Întreaga desfăşurare a procesului este aleatoare (mişcarea browniană)

            3. În desfăşurarea în timp a procesului se poate manifesta o lege fundamentală simplă, dar ea poate fi complicată de perturbaţiile aleatorii care acţionează în ecursul întregului proces (de exemplu evoluţia temperaturii la o anumită longitudine şi latitudine, mişcarea planetelor, evoluţia unui proiectil după ce a fost lansat, mareele, etc.)

            Un lucru de natură să îngreuneze înţelegerea conceptului de aleator este relativitatea lui ontologico-gnoseologică. În aprecierea unui fenomen drept aleator este esenţială limita cunoaşterii noastre, ignoranţa noastră. În definitiv ceea ce este aleator pentru mine, poate să nu fie la fel pentru altcineva. Cred totuşi că relativitatea nu trebuie împinsă prea departe, pînă la a ajunge la afirmaţii de genul „totul este întâmplător” sau „nu există întâmplător”. A doua teză mi se pare totuşi mai comodă. Ea ascunde următoarea supoziţie ontologică: „În orice şir de evenimente, oricît de neregulat ar fi el, trebuie să existe o cauză din care ele decurg cu aceeaşi necesitate ca şi rotirea Pământului în jurul Soarelui” (Laplace, [33], pg.5).

            Să recunoaştem că nu vom putea demonstra niciodată că nu este aşa. Credinţa în necesitatea absolută este înrădăcinată profund în spiritul uman. Întotdeauna vor exista oameni care să creadă în „soartă”, „destin” - sinonime ale Necesităţii. Eu aş obiecta determinismului ?? Laplaceean mai întâi că dacă ar fi aşa, devine de neînţeles puterea predictivă a teoriilor statistice, recunoscută de toţi (cinetica moleculară, teoria căldurii, etc.). Este adevărat că demonul său poate prevedea pe ce faţă va cădea banul, sunt gata să accept astaş dar cum explică el faptul că în aproximativ jumătate din cazuri va apărea stema şi în jumătate banul ? Şi chiar dacă mi-ar explica stabilitatea frecvenţelor - ceea ce ar fi un lucru formidabil - i-aş argumenta faptul că un asemenea mod de a vedea lucrurile nu ajută cu nimic omul de ştiinţă, fizicianul; ba poate că îl şi încurcă. Se ştie doar că una din principalele dificultăţi în fundarea mecanicii cuantice a fost de ordin psihologic: fizicienii nu puteau renunţa la ideea că o particulă trebuie să se mişte pe o traiectorie (determinismul ?? Laplaceean se manifestă în fizică prin necesitatea psihologică de legi dinamice, deduse din ecuaţii diferenţiale). Ori, se pare că experienţa cu bifanta lui Young nu este compatibilă cu acest mod de a vedea lucrurile. Ma concret, a doua obiecţie sună cam aşa: să admitem că aş putea măsura cu precizie suficientă înălţimea de la care cade moneda, masa ei, coeficientul său de elasticitate, coeficientul de elasticitate al planului pe care cade şi că aş putea menţine aceste condiţii riguros constante (ceea ce nu este cazul); să mai admitem că peste câtva timp voi avea şi un model teoretic suficient de precis care să descrie ce se întâmplă când moneda interacţionează cu masa pe care cade (ceea ce, mai ales, nu este cazul). În aceste condiţii chiar, realizînd experienţa în vid, şi tot ar apărea un sistem de ecuaţii diferenţiale a căror rezolvare cu precizie suficientă ar necesita un volum uriaş de calcule - aproape de negândit. Iar acest exemplu este o jucărie faţă de problema prevederii feţei pe care cade un zar sau a poziţiei exacte în care o picătură de ploaie va atinge pământul. Pe scurt, obiecţiile sunt de natură pragmatică: determinismul absolut nu este operaţional pentru ştiinţă.

            Dar cred că aleatorul are şi un temei ontic: el există ca un tip special de dezordine. În acest sens sunt de acord cu Popper care consideră că „pentru o teorie obiectivă a probabilităţii şi aplicarea ei la noţiuni ca entropia sau dezordinea moleculară este esenţială o caracterizare obiectivă a neregularităţii sau dezordinii întâmplătoare ca tip de ordine... Am fi tentaţi să spunem că hazardul sau dezordinea nu poate fi un tip de ordine descriptibil obiectiv, ci trebuie interpretat ca o lipsă a cunoaşterii noastre asupra ordinii existente - dacă o asemenea ordine există în general. Cred că trebuie să ne împotrivim unei asemenea tentaţii şi că poate fi dezvoltată o teorie în care să construim tipuri ideale de regularitate”.

            Primul care a fost dispus să recunoască un temei ontic hazardului a fost A. Cournot (1802 - 1877). Teoria lui despre aleatorul obiectiv este în inima concepţiei sale despre probabilitate. La cizelarea tezelor sale a mediatat în jur de 30 de ani vădind o consecvenţă ieşită din comun, dacă ne gândim că atmodfera intelectuală a timpului nu era propice unei atare concepţii.

            Iată teoria sa: în natură există lanţuri cauzale având fiecare determinismul lor imanent şi care se dezvoltă în paralel, fără a exercita vreo influenţă vizibilă una asupra alteia. Uneori ele se intersectează. Fenomenele care se petrec la intersecţia a două sau mai multe asemenea lanţuri cauzale independente le numeşte aleatoare. De exemplu, căsătoria este un fenomen tipic aleator. Cei doi parteneri provin cu necesitate din lanţuri cauzale, dar intersecţia lor este ceva fortuit, contingent , întâmplător. Sau un accident de circulaţie: pietonul x traversează neglijent să ia autobuzul, automobilul y îl calcă. Fiecare cu determinismul lor imanent. Postulatul de bază al lui Cournot în susţinerea teoriei este că în univers există serii cauzale independente de evenimente. „Ideea de hazard este ideea întâlnirii unor fapte raţional independente (sublinierea sa) unele de altele, întâlnire care prin ea însăşi nu este decât un fapt căruia nu i se poate găsi vreo logicăsau vreun motiv” ([11], §42). Sau „este un principiu al bunului simţ că în natură exită serii de fenomene solidare, depinzând unele de altele şi alte serii care se dezvoltă paralel sau succesiv fără ca între ele să fie ?? vreo dependenţă. Există, este adevărat filosofi care spun că totul în lume se leagă şi ei dovedesc aceasta prin argumente subtile sau prin glume (plaisanteries) ingenioase, dar totuşi nu pot înlătura credinţa simţului comun. Nimeni nu va crede serios că, dând cu piciorul în pământ va influenţa un vapor care pluteşte la antipozi sau va deranja sateliţiilui Jupiter. Chiar dacă ar admite în teorie existenţa vreunei perturbaţii, ar trebui să recunoască că ele sunt infinit de mici, deci că fizic, ele nu există” ([11], §40).

            Efectul cauzelor se amortizează în timp şi spaţiu „Existenţa unui om este un sistem închis, o scânteie, un mic vârtej (turbillon) în raport cu universul sau cu alţi oameni depărtaţi în timp şi spaţiu” ([36], pg.182).

            Pe scurt, universul este disociat într-o mulţime de mici toturi care înglobează unele într-altele. Dacă două asemenea toturi de acelaşi ordin de mărime se intersectează, apare ceva aleator.

            Teoria este intenţionată a fi pur realistă: ideea de hazard „nu ţine de modul nostru de a judeca”, „Hazardul subzistă între lucruri”. Chiar şi pentru demonul lui Laplace ar exista hazard: „determinismul absolut nu exclude ideea independeţei cauzelor şi deci nici pe cea de accidental fortuit”. Mai precis: „Să presupunem, ca Laplace că natura are un număr mic de legi imuabile. Ar fi suficient să aibă două, independente una de alta ca să facă loc şi întâmplării (fortuité) în guvernarea lumii”. În plus „indiferent dacă noi cunoaştem sau nu legea proprie a două serii cauzale independente, din momentul în care se intersectează apare hazardul. El nu se diminuează pe măsură ce cunoaşterea se adânceşte.”

            Totuşi abordarea Cournotiană ridică dificultăţi epistemologice, dacă este interpretată prea consecvent. De exemplu, dacă am înţeles eu bine, un fapt aleator nu este neapărat imprevizibil („Întâlnirea a două serii cauzale independente nu este absolut imprevizibilă. Ea scapă previziunii noastre care se mişcă într-un orizont îngust; dar, dacă am lărgi câmpul previziunii, unele dintre ele le-am putea prevedea. Dar chiar previziunea lor nu le-ar ridica caracterul lor fortuit”). Deci demonul lui Laplace ar putea prevedea toate intersecţiile tuturor seriilor cauzale, fie ele şi independente, şi ceea ce ar rezulta din ele. Pentru el totul ar necesar, fiind previzibil. Or, aşa se contrazice accepţiunea dată de bunul simţ - ca să îl urmăm pe Cournot - noţiunii de hazard. Coexistenţa determinism - hazard - previziune a fost numită de comentatori „paradoxul lui Cournot” ([36]).

            Pe de altă parte nu îmi este prea clar ce înseamnă serii cauzale independente. Noţiunea de „indepenţă” nu mi se pare de loc mai simplă ca cea de „aleator”. Să însemne că nu au vreo legătură cauzală ( = genetică ??) una cu alta ? Schijele unei grenade nu formează în acest caz serii independente căci provin din aceeaşi explozie; totuşi repartiţia lor este aleatoare. Să însemne oare faptul că cele două serii cauzale nu se influenţează reciproc, fiind situate la mari distanţe spaţio-temporale ? Dar atunci ele nu se pot nici intersecta.

            Tot Cournot pare să dea şi o altă accepţiune a hazardului ca fiind opusul ordinii, adică evenimentele aloatoare nu pot fi urmărite prin formule matematice simple (de exemplu subînţelege aceasta când analizează simptomele de aleator care apar în dezvoltarea zecimală a lui ). Mi se pare că această cale este mai comodă. Pe ea s-a şi mers, de exemplu, când s-a încercat a se da o formulare precisă, matematică a conceptului de aleator şi, pe cât posibil, a se ajunge la un aleator „obiectiv”, adică fărp presupunerea unui eventual observator.

            Vom restrânge discuţia la întrebarea mai precisă: ce se înţelege printr-un şir de numere aleatoare ? Simplificând la maximum, putem presupune că şirul  nu ia decât două valori: 0 şi 1. Discuţia are importanţă nu numai epistemologică ci şi practică, deoarece multe probleme în care intervine calculul unor integrale multiple, se simulează pe calculator (deoarece nu se pot calcula exact) folosindu-se „numere aleatoare”. Mai precis, în cazul calculării unor volume n - dimensiona-le complicate se procedează astfel: se încadrează, prin omotetii şi translaţii potrivite, volumul într-un cub n - dimensional de latură 1. Apoi se produce un şir de vectori n - dimensionali (adică sisteme ordonate de n numere cuprinse între 0 şi 1) „aleatori” - în limbaj matematic, se numesc „uniform distribuiţi” deoarece ei nu trebuie să manifeste „preferinţă” pentru nici o celulă a hipercubului respectiv şi se calculează frecvenţa relativă a vectorilor care aparţin domeniului respectiv. Conform legii numerelor mari, această frecvenţă relativă aproximează volumul căutat. Totul este ca vectorii respectivi să fie într-adevăr aleatori şi să se producă într-o cantitate suficient de mare. Ce înseamnă „suficient de mulţi” este o problemă care ţine de resortul matematicii; ce înseamnă „aleator” îmi pare că nu ţine numai de aprecierea matematicianului.

            Acum sensul practic al întrebări: ce înseamnă numere aleatoare ? este, cred, clar: calculatorul nu poate produce numere decât după o regulă care se programează. Este cel puţin incomod - ca să nu spun nesatisfăcător matematic, episemologic, să aruncăm cu banul de câteva sute de mii de ori şi să înarmăm meoria calculatorului cu acest tabel de numere - deşi există tabele de numere aleatoare produse de mecanisme stocastice, dar ele nu conţin decât maximum 8000 de numere.

            Prima încercare a fost făcută de von Mises (1919); noi vom reproduce definiţia superioară ca formalizare din lucrarea postumă [38'], 1965, unde definiţia iniţială este modificată de A. wald. Vom adapta definiţia la şirurile particulare anunţate, formate numai din 0 şi 1. Von Mises o numeşte axioma hazardului (randomness, Regelosigkeitsprinzip).

            Definiţie. Fie  un şir şi . Şirul se numeşte aleator (v. Mises spune că formează un colectiv (Ensemble, Kollektiv)) dacă:

            1. Există  ca

            2. Pentru orice sistem de funcţii  („regulă de joc”) subşirul  satisface proprietatea 1, unde

,...,

            În cuvinte: subşirul  este format numai din acei termeni ai vechiului şir  pentru care . Axioma a 2 -a a hazardului cere ca acest nou subşir să aibă aceleaşi proprietăţi privind frecvenţa relativă a lui 1 şi 0.

            Operaţia de extragere a unui nou subşir din cel mai vechi se numeşte „selecţie de loc” (Stellenauswahl, place slection). De exemplu, dacă  dacă  şi 0 dacă , regula de selecţie este: „selecteayă numai succesorii lui 1”.

            Definiţia de mai sus a ridicat un val de critici. Mai întâi Pius Servien ([57]) scria, exasperat: „Ce se poate cu o asemenea fiinţă matematică ? Şirurile se împart în două categorii: unele despre care ştim că nu verifică axioma hazardului pentru că sunt date de o regulă, şi altele despre care nu ştim numic”. Aceasta este o obiecţie de natură estetică serioasă. În matematică este foarte neplăcut de lucrat cu obiecte pe care nu le „vedem” prin exemple. În cazul definiţiei lui von Mises obiectul avut în vedere era aruncarea cu banul. Din păcate acesta nu este un obiect matematic, ci empiric, lăsând la o parte faptul că aici nu este vorba de un şir veritabil, deoarece nimeni nu a aruncat până acum o monedă de o infinitate de ori. S-ar putea argumenta că nici pentru şiruri de variabile aleatoare independente şi identic repartizate nu avem decât exemple empirice. Totuşi, nu este aşa: formalizarea Kolmogorov şirul a n-a cifră diadică din dezvoltarea lui  formează un asemenea şir, unde probabilitatea este măsura Lebesgue. Exempluleste intuitiv şi mult studiat. Variabilele  se numesc funcţii Rademacher.

            O obiecţie mai serioasă a fost multă vreme aceea dacă nu cumva se vorbeşte despre mulţimea vidă (s-au mai întâlnit cazuri în matematică !). Există  şiruri  care  satisfac  definiţia  lui   v. Mises de mai sus ? Pentru  este relativ uşor de arătat că aproape toate şirurile (deyvoltarea binară a lui ) satisfac definiţia. „Aproape toate” înseamnă că mulţimea punctelor x din  care, dezvoltate diadic dau naştere la şiruri nealeatoare este neglijabilă relativ la măsura Lebesgue. A Wald a demonstrat (vezi [38']) că pentru orice  mulţimea şirurilor care staisfac definiţia lui von Mises este nenumărabilă.

            H. rechenbach (1935) a remarcat în [49] că noţiunea de colectiv nu modelează decât acel tip de aleator întâlnit în „experienţe repetate în condiţii identice” unde este un fapt stabilit empiric că frecvenţele se stabilizează, dar nu şi aleatorul întâlnit în alte situaţii unde un aleator de primul tip se suprapune peste o tendinţă deterministă (fenomene meteorologice) sau unde frecvenţele nu sunt aceleaşi la toate subşirurile extrase prin „place selection” (accidentele de circulaţie care sunt mai frecvente duminicile). În locul colectivelor, el propune noţiunea de „şiruri normale”. Acestea sunt discutate în Anexa 4. Şirurile lui au însă un dezavantaj în comun cu cele ?? à la von Mises: nu se spune nimic despre viteya lor de convergenţă. Ambii acceptă posibilitatea unor şiruri care, de exemplu încep cu  zerouri ca apoi să continue aleator; ori, empiric, este clar că aşa ceva nu poate fi considerat aleator.

            K. Popper îndepărtează acest neajuns înlocuind conceptul de colectiv cu cel de şir „absolut liber” ([47]). În esenţă, un şir este absolut liber dacă este n - liber pentru orice n, iar n - liber înseamnă că este insensibil la „place selections” particulare de tipul

, ... , iar , , ...,  unde  sunt date în prealabil.

            Astfel, un şir n - liber este stabil numai la  selecţii de vecinătate. De exemplu, şirul periodic cu perioada egală cu 12

                        000110100111...         este 2 - liber

            Avantajul este că asemenea şiruri „absolut libere” se pot construi prin algoritmi. Empiric, ele sunt „mai aleatoare” decât cele ale lui von Mises, deoarece ele sutn neregulate chiar de la început (noţiunea de n - libertate se poate da şi pentru şiruri finite). Popper le numeşte şi quasialeatoare şi încearcă să demonstreze că în cazul lor se poate renunţa la axioma limitei. Metoda lui antrenează şi o nuanţare a noţiunii de „aleator”: şirurile 2-libere sunt mai aleatoare decât cele 1-libere, dar „mai puţin aleatoare” decât cele 3-libere, etc.

            O a treia idee de formalizare a noţiunii de „sir aleator” este dată de Kolmogorov în [??], pornind de la noţiunea de funcţie recursivă şi efort de calcul. Ideea lui este următoarea: să considerăm următoarele şiruri:

            1) 1100110011001100

            2) 11001001100001100110010011000110000001010001...

            3) 101111100101010001101001110010011011000101011000

            Primului i se poate ataşa o regulă simplă: doi de 1, doi de 0. Cel de-al doilea pare aleator, dar totuşi nu este aşa: sub el se ascunde o regulă simplă. Pur şi simplu am scris numerele 1, 4, 9, 16, 25,... (pătratele numerelor naturale) în baza doi şi apoi le-am aranjat, fără spaţii, unul după altul. Al treilea este obţinut prin înregistrarea rezultatelor unei experienţe de aruncare cu banul.

            Kolmogorov propune următaorea definiţie: un şir este aleator, dacă singurul procedeu de a-l descrie este simpla enumerar. Un procedeu de descriere este o funcţie recursivă; mulţimea funcţiilor recursive este numărabilă, aşa că „aproape toate” şirurile de 0 şi 1 sunt aleatoare.

            Se pot ridica obiecţii spinoase şi împotriva acestei definiţii. Conceptul mi se pare la fel de impropriu pentru matematică ca şi cel al lui von Mises. În cazul unui exemplu concret, făcând şi aici abstracţie de faptul că nu se poate da un şir fără vreo regulă de construcţie, cine poate garanta că şirul nu ascunde totuşi sub el o regulă, pasibilă de a fi exprimată prin funcţii recursive ? Este ca şi cum am dezvolta o teorie geometrică foarte bogată, însă nu am putea recunoaşte dacă figura cutare este cerc sau pătart. Conceptul lui Popper de n - libertate cel puţin este testabil empiric. Cel al lui Kolmogorov se reduce, grosso modo, la faptul că şirul  este aleator dacă matematicienii nu-l pot prevedea pe  din ,..., - ceea ce îmi pare prea gnoseologizant pentru a fi operaţional.

            Practicienii se descurcă, în simularea pe calculator şi fără vreo definiţie a numerelor aleatoare. Se scriu cărţi întregi pe această temă. Se folosesc mai ales procedee de generare congruenţiale, de tipul  unde m, p,  sunt numere naturale alese în aşa fel încât şirul să fie foarte neregulat, dar se face apel şi la teoria ergodică, folosindu-se durogatul „şir ergodic” pentru înlocuirea şirului aleator. (Şirul  se numeşte ergodic dacă pentru orice , , adică frecvenţa relativă a numerelor cuprinse într-o mulţime măsurabilă din intervalul  converge la măsura Lebesgue a mulţimii respective). De exemplu, pentru orice număr q iraţional şi pozitiv, şirul  (partea zecimală a lui nq) este un şir ergodic, dar demonstraţia acestui fapt nu este deloc elementară.

            Mai există o cale de formalizare a ideii de hazard, obişnuită astăzi în lucrările de teoria informaţiei, şi anume prin entropie mare. Dar, entropia, în sens matematic, face apel la probabilităţi şi noţiunea de aleator mi se pare anterioară celei de probabilitate.

            Ceea ce mi se pare valoros în abordările mergând pe direcţia deschisă de von Mises este conceptul de „aleator obiectiv” caracterizat printr-un anume tip de dezordine (care încearcă să modeleze dezordinea moleculară) la nivel de individ dar în care se manifestă ordinea la nivel colectiv, prin stabilizarea frecvenţelor relative. În definitiv probabilitatea „fizică” nu poate fi estimată decât prin frecvenţe relative; dacă ele nu sunt stabile, afirmaţia „probabilitatea evenimentului cutare este p” devine principial neverificabilă - deci un nonsens fizic. Această viziune mi se pare convenabilă interfeţei Teoria Probabilităţilor - Ştiinţele naturii: dacă există un aleator obiectiv, manifestat printr-o dezordine sui-generis, studierea lui nu este numai o lipsă de cunoaştere, o convenţie, ci tot o cunoaştere a unei zone a realului.

            Punctul de vedere exprimat mai sus este departe de a întruni aprobarea tuturor celor care au meditat asupra conceptului de hazard. A prinde aleatorul într-o formulare matematică pare multora un nonsens, un demers sortit eşecului, sau cel puţin o intreprindere inutilă. „Cred că matematica nu va putea niciodată defini, e o manieră general admisă ce înseamnă hazardul” spunea Cramer în [11']. Mai violent se exprimă Pius Servien [57]: „Obiectul teoriei probabilităţilor - hazardul - sună obscur şi necunoscut. Conceptul păstrează rădăcini din limbajul liric. În lipsa unei definiţii precise a hazardului, cuvântul trezeşte în noi un sentiment vast şi vag. Cei care consideră că Teoria Probabilităţilor este ştiinţa hazardului în acordă mereu un sens pe care nu îl are... Văzut astfel, obiectul teoriei este obscur şi cu tente de profeţie”. Mai mult, „de la Pascal până astăzi (1941, nn) Calculul Probabilităţilor a trăit într-o atmosferă sui-generis. Filosoful avea o armă nouă; matematicianul se găsea capabil să intervină, ca posesor al acestei  Arte  în  domeniul  filosofic, într-un domeniu de limbaj hibrid (language melé) unde Limbajul Ştiinţelor şi Limabjul Liric rămân înlănţuite şi unde se folosesc, fără discernământ metode valabile numai în primul din cele două domenii”. Dar, continua acelaşi autor, agasat de pretenţiile filosofice ale probabilişilor - şi etse un fapt că toţi marii matematicieni care s-au ocupat de fundarea teoriei probabilităţilor au avut şi preocupări filosoficeş s-a întâmplat însă şi invers: filosofi de prim rang să participe şi ei la fundarea probabilităţilor (Carnap, reichenbach, Popper) - „efortul de a capta hazardul în definiţii matematice este un fel de miraj de lungă durată în teoria clasică a probabilităţilor, care a încercat să îl exorcizeze. Teoriile mai noi, „revoluţionare” (se referă la von Mises), chipurile mai raţionale, nu au făcut decât să îl introducă în inima teoriei, de unde rezultă o situaţie absurdă”.

            Situaţia absurdă de care vorbea autorul francez se referea, bănuiesc, la mixtura de empiric şi matematic care se vedea la von Mises. Bănuiesc că el nu citise cartea lui Kolmogorov [??], deşi apărută cu opt ani înainte, pentru că acolo ar fi văzut o teorie pur matematică.

            Este interesantă, deşi nu neapărat revelatorie pentru scopul nostru, studierea etimologic comparativă a sensului cuvântului „aleator” în diverse limbi. Mai întâi, în limbile latine se folosesc derivări ale latinescului „alea” care însemna zaruriş apoi cuvântul a ajuns să desemneze jocul de noroc, în general. În latina literară, întâmplător se spunea „casualis” adică provenit dintr-un caz, întâmplare, accident; o mică diferenţă de nuanţă avea „fortuitas” care însemna un aleator de altă sursă, supranaturală. Iată care este situaţia în câteva limbi moderne (vezi şi [19]).

Engleză:          Random (”having no definite aim or purpose” - termenul folosit în matematică; din                     franceza medievală „randonir”= a galopa) sau Casual (”produced by chance,                             accidental fortuituous”)

Franceză:        Aleatoire („incertain, hazardeux” - folosit în matematică) sau Fortuit

Spaniolă, Portugheză:                Aleatorio

Italiană: Casuale

Germană:          Zufällig (Fall = caz, Zufall = întâmplare)

Olandeză:         Toevallig (ca în germană)

Norvegiană:      Tillfeldig (ca în germană)

Suedeză:           Slump (??)

Rusă:                Slučainâi (Slučai = caz, întâmplare)

Bulgară:            Slučaen (ca în rusă)

Sârbo-croată:   Slučajan (ca în rusă)

Poloneză:          Łosowz (łos = soartă) dar şi Przypadkowy (padáč = a cădea, przypadek = întâmplare,                         caz)

Cehă:               Náhodny (hod = arunacre, nahoda = întâmplare)

Maghiară:         Veletlén (= neintenţionat)

Greacă:            Symptematicos (Symban = caz, Symptesis = întâmplare, hazard), Stochastikos sau                    Tychaios

Albaneză:         Ghivori (??)

Arabă:              Amśua - ii un ?? (), adafii un () ????

Chineză:           (sui = conform cu, a se supune; jī = caz, şansă, posibilitate)

            Se poate observa că în majoritatea limbilor, aleator este corelat cu „caz” în sensul de accident, întâmplare; în câteva este chiar calchierea lui casualis. Termenii sunt cei folosiţi în matematică (vezi [??]).

§1.3. POSIBIL  ŞI  PROBABIL

            În discutarea celor două concepte cred că trebuie făcută o distincţie clară între sensul atribuit lor în limbajul obişnuit şi cel implicat într-o teorie ştiinţifică sau în filosofia probabilităţilor.

            În principiu, orice propoziţie de genul „Este posibil p” unde p este o propoziţie sau un eveniment exprimă o apreciere faţă de respectivul enunţ sau eveniment. Înseamnă că noţiunea ţine de sfera gnoseologicului, exprimând anumite încrederi subiective. Totuşi, în ştiinţă, conceptul are şi un anumit temei ontic.

            Să considerăm următoarele enunţuri:

a) Este posibil ca Menumorut să fi fost român.

            b) Este posibil ca infracţiunea cutare să fi fost comisă de x.

            c) Este posibil ca aruncând acest zar să apară faţa „6”.

            În primele două cazuri, modealizarea se referă la acţiuni trecute. În realitate Menumorut a fost român, sau a fost cuman sau orice altceva. Infracţiunea cutare a fost făcută de cineva: de x, de y sau de alt infractor. În aceste două exemple numai o singură variantă este adevărată, restul sunt false. Singurul sens pe care pot să-l dau aici lui „Este posibil ca” este cel de ipoteză de lucru a istoricului sau detectivului, de conjectură. Admiterea ei nu contrazice celelalte fapte cunoscute. Propoziţiile a) şi b) nu pot avea nici o valoare de adevăr. O formulare mai precisă ar fi:

            a') Nu s-a demonstrat că Menumorut nu a fost român.

            b') Nici unul dintre cei interogaţi nu a mărturisit că a comis infracţiunea. X a mai comis o infracţiune de acelaşi gen (şi poate că nu are alibi !), deci nu am motive să îl exclud de pe lista suspecţilor.

            Aşadar mi se pare un truism că în cele două exemple discutate, „este posibil” nu are nici un temei ontic. Această posibilitate nu există decât în mintea istoricului sau a detectivului, sau a oricui are incertitudini asupra unui lucru deja întâmplat: rebusist care rezolvă cuvinte încrucişate sau matematician care rezolvă o problemă. Din mulţimea posibilităţilor care se prezintă, trebuie aleasă cea care este adevărată.

            Să considerăm acum propoziţia c). Se va putea obiecta: Aruncă zarul; dacă apare 6 ai avut dreptate, dacă nu, nu. Care este diferenţa faţă de exemplul cu Menumorut ? Este vorba numai de o translaţie temporală ! Totuşi, sensul lui c) este puţin diferit. Eu nu spun că la aruncarea aceasta va apărea 6; dacă aş fi intenţionat acest lucru aş fi spus, mai puţin metafizic (în sensul pozitivist neverificabil), „Acum, va apărea 6”. Or eu am spus că este posibil să apară 6 subînţelegând că mă refer la o aruncare oarecare. În acest caz afirmaţia de posibilitate are caracter existenţial, deci este ontologică. Ea este logic echivalentă cu „Va apărea 6 la aruncarea nr. 1, sau la aruncarea nr. 2, sau nr. 3, etc.”. A dispărut modalizarea. Propoziţia poate fi adevărată sau falsă. Că poate fi adevărată, este evident: este suficient să apară un singur 6. Că poate fi falsă este cu mult mai greu de înţeles. Asertările de posibilitate sunt verificabile empiric, dar nu fasificabile. Într-adevăr, pentru a nega pe c) ar trebui asertat „Este imposibil 6”. Deoarece este clar că nu poate fi vorba de o imposibilitate teoretică, acest „Este imposibil” nu poate fi interpretat decât „Este necesar empiric (fizic) să nu apară 6”. Necesitatea fizică a fost discutată provizoriu în §1.1.

            Revenind la enunţul c), să observăm că este vorba de o „posibilitate fizică”. Consider că orice afirmaţie de acest gen conţine o asertare existenţială şi admite implicit un context experimental şi o alternativă. În cazul de faţă alternativa poate fi (1, 2, 3, 4, 5, 6) - feţele zarului, sau orice sub-alternativă derivată din ea, de exemplu (6, non-6). Contextul experimental constă în faptul că zarul nu se dezagragă după prima aruncare, şi că mai poate fi folosit de multe ori. Mi s-a obiectat că de multe ori, o judecată de posibilitate ??? este anterioară imaginării şirului rezultatelor, este apriori. Eu cred totuşi că alternativa apare după imaginarea şirului rezultatelor. O propoziţie ca c) nu o pot gândi decât ca un şir, un prototip, o familie de propoziţii de genul „la aruncarea nr. k, apare faţa 6”. Chiar dacă acum nu a apărut 6, posibilitatea continuă să existe. Fizicianul, omul de ştiinţă, este forţat să gândească toate posibilităţile ca existând virtual chiar dacă de fiecare dată se realizaează numai una din ele. Într-o atare accepţiune, posibilul este numai o modalitate a viitorului.

            Orice apreciere privind posibilitatea fizică a unui eveniment este legată de predicţie. Din experienţa empirică, sau dintr-un model teoretic ştim că nu avem motive să îl excludem din calcul şi că într-un număr mare de probe va apărea şi el. Mecanismul logic care duce la asertarea de tip c) este de genul următor: în anumite condiţii apare 1,2,...,6. Eu nu cunosc starea iniţială a zarului, şi nici cum se va rostogoli pe masă. Deci nu trebuie să exclud nici unul din cele 6 cazuri; deci 6 este posibil.

            Omul de ştiinţă, când planifică un experiment îşi prevede alternativa conştient sau nu, de o manieră mai mult sau mai puţin precisă. Estimarea ei - adică a posibilităţilor ?? - este un prim pas în planificarea experimentului. Pentru el, ele există în realitate. În acest sens posibilul - adică alternativa - are un temei ontic. Chiar dacă experimentul va fi făcut de un robot, posibilităţile care există se vor manifesta. Fără această supoziţie ontologică nu ar fi posibilă ştiinţa.

            De aceea cred că, ştiinţific, şi în sens ontologic, noţiunea de posibil se aplică, primar, la evenimente repetabile în condiţii esenţial identice. Dacă nu, trebuie

            1) ca evenimentul de care este vorba să fie inserat, principial, într-o serie mai mare de evenimente cu care el are ceva comun sau

            2) să fie sesizate condiţii necesare care duc la producerea lui.

            Pentru a fi mai clar, să studiem exemplul

            d) Este posibil ca astăzi să plouă.

            Evenimentul nu este repetabil. Nu va mai fi un al doilea „astăzi” la fel. Metoda 1) transformă pe d) sub forma

            d1) Este posibil ca marţi să plouă (dacă azi este marţi) sau

            d2) Este posibil ca pe 21 iunie să plouă, etc. În orice asemenea inserare este o oarecare doză de arbitrar. Metoda 2) ar putea furniza de exemplu un enunţ de tipul

            d3) Când afară este nor, este posibil ca uneori să plouă.

            (dacă asertarea posibilităţii a avut la bază observarea cerului) sau

            d4) Când se anunţă ploaie la buletinul meteorologic este posibil să plouă. (dacă ne.am bazat temerea pe ascultarea buletinului meteorologic), etc. Toate enunţurile d1) - d4) sunt existenţiale, au şi un temei ontic. Este adevărat că nici una nu păstrează sensul lui d), ceea ce este normal căci d), referindu-se la un eveniment unic, nu poate avea, sub forma în care este enunţat, decât sens subiectiv.Graniţa ontologic - gnoseologic este foarte greu de trasat căci este un truism că „posibilul” este legat strâns de predicţie.

            De altfel, de multe ori, aprecierea (responsabilă) a ceva drept posibil are la bază tocami sesizarea unor condiţii necesare, dar nu şi suficiente ca acel ceva să aibă loc. (Dacă s-ar găsi şi condiţii suficiente, evident că nu se va mai spune „Este posibil” ci „În mod necesar”) Această regulă are o mare valoare euristică, în raţionamentul prin analogie. Conjecturile şi teoremele în matematică pleacă tocmai de la sentimentul obscur că „Este posibil p” generat de sesizarea unor condiţii necesare ca p să fie adevărată. Din fericire, în matematică, lucrurile nu se opresc aici: mai trebuie arătată şi suficienţa condiţiilor descoperite, iar dacă nu, infirmă conjectura print-un contraexemplu. Ca să dăm un exemplu banal, ca o funcţie să admită primitivă, ea trebuie să aibă proprietatea lui Darboux. Dacă nu o are, totul este în ordine: funcţia nu admite primitivă. Mai greu este dacă o are, căci atunci existenţa primitivei devine posibilă, dar nu obligatorie.

            În literatura marxistă nu mi se pare suficient clarificat sensul conceptului de posibil deşi categoriile „posibilitate - realitate” stau în centrul materialismului dialectic. De exemplu, în [13] este dată următaorea definiţie: „Posibilitatea este tendinţa generală obiectivă a devenirii sistemelor în conformitate cu determinismul lor imanent şi în corelaţie cu determinările lor exterioare. Ea este o modalitate viitoare de realizare a sistemelor existente, o realitate în devenire.” Mi se pare că interpretarea posibilităţii ca tendinţă de devenire nu are nimic comun nici cu sensul comun al conceptului, nici cu cel atribuit în ştiinţă. Iar termenul „realitate în devenire” cred că trebuie înţeles sub forma „mulţimea tuturor realităţilor viitoare”. Noţiunea de „posibilitate obiectivă” nu o văd interpretabilă decât ca

            a) o condiţie necesară pentru producerea unui fenomen, dar nu neapărat suficientă (ca în „Lenin a sesizat posibilitatea obiectivă a preluării puterii de către soviete”) sau

            b) desemnând alternativele unui context experimental dat (de exemplu la aruncarea cu zarul, rezultatele scontate ale unui experiment fizic).

            În analiza conceptului de probabiliate fizică - singurul căruia îi vom găsi un temei ontic - nu ne va interesa decât sensul b) al termenului.

            Judecata „Evenimentul E este posibil” este numai calitativă. O judecată, calitativă, este numai un început de cunoaştere. Omul de ştiinţă vrea să dea un sens şi întrebării „Cât de posibil este E ?” Măsura posibilităţii lui E este probabilitatea sa. Majoritatea gânditorilor sunr de acord că „probabilul este o măsură a posibilului”, dar nu mai sunt deloc de acord asupra interpretării celor două cuvinte „măsură a posibilului”. Cum se poate estima această măsură ? Reprezintă ea şi ceva mai mult decât o simplă părere ? Există o „probabilitate adevărată” a unui eveniment ? Am intrat deja pe un teren plin de nisipuri mişcătoare. Disputele în jurul interpretării noţiunii de probabilitate se poartă de un secol şi ar fi ridicol să cred că punctul meu de vedere este foarte just. Majoritatea probabiliştilor de elită şi-au pus asemenea probleme şi se poate spune că Probabilitatea te îndeamnă la filosofare, ceea ce îl irita pe P. Servien, dar şi pe alţii. (Blaga compara omul de ştiinţă cu pretenţii filosofante cu „un elefant într-o vitrină cu porţelanuri fine”). Totuşi, Pascal, Bernoulli, lapalce, Cornot, von Mises, Bruno de Finetti au avut şi preocupări filosofice (ultimii doi nici nu sunt trecuţi în Dicţionarul de Filosofie, deşi ambii îmi par şi filosofi de rasă) ca să nu mai vorbim de faptul că Carnap, Reichenbach, Popper şi Russell - figuri dintre cele mai reprezenattive ale filosofiei secolului XX - şi-au adus contribuţia lor la fundarea conceptului de probabilitate.

            Problemele filosofice ale Teoriei Probabilităţilor sunt:

1. Se poate ataşa o probabilitate unui eveniment aleator izolat sau numai unor colective                  statistice ?

            2. Poate fi definită probabilitatea şi în termeni de altceva decât ea însăşi ?

            3. Putem verfica, măcar principial faptul că ea există ? Ce sens trebuie atribuit acestei existenţe ? Exprimă ea şi altceva decât o lipsă de cunoaştere ? Care este statutul său ontic ?

            4. există mai multe tipuri de probabilitate ?

            Înainte de a trece la o analiză a acsetor probleme, poate că nu este inutilă o analiză semantică a noţiunilor de probabil, probabilitate în limbajul comun. Aici frontiera între posibil şi probabil nu este prea clar delimitată. Uneori se folosesc cei doi termeni cu acelaşi sens. E drept că uneori auzim „E posibil, dar puţin probabil” dar, din câte am înţeles, sensul implicit era „Este posibil în principiu, dar nu o să mi se întâmple tocmai mie”. Diferenţa de nuanţă care apare totuşi este că „probabil” implică o pareciere mai subiectivă, personală, decât „posibil”. Chair dacă doi indivizi sunt de acord că ceva este posibil, se întâmplă ca ei să nu fie de acord că este şi probabil. Dstincţia resimţită ar fi oarecum analoagă celei între „posibilitate teoretică, abstractă” şi „posibilitatea concretă” (simţim că există condiţii care ne fac să ne aşteptăm ca evenimentul să se întâmple).

            Pe de altă parte, „probabil” mai este resimţit ca ceva opus lui „cert” şi este oarecum sinonim cu „credibil”, „verosimil”. Rezultă că principalul sens în viaţa de toate zilele este cel subiectiv, de aşteptare personală, de încredere parţială că ceva se va întâmpla sau s-a întâmplat. „Probabil că x minte”, „Probabil că teorema cutare este falsă”, „Probabil că el a ajuns acasă”, „ Probabil că mâine mă voi duce la piaţă” au alt sens decât acesta.

            Este şocant că analiza etiomologică arată că sensul pe care „ar trebui” să îl aibă cuvântul este cu totul altul. Cuvântul provine din verbul latinesc, „probo, probare” care înseamnă „a verifica”. Aşadar „Probabilitate” ar trebui să însemne „Verificabilitate” ! Ciudata schimbare de sens s-a petrecut în latina medievală. În latină se folosea cuvântul „verisimilitudo” pentru probabilitate şi „verisimilis” pentru „probabil”. De aici şi cuvântul românesc „verosimil”, cu acelaşi sens. În teoria probabilităţilor, însă, „verosimilitate” are un sens bine precizat: acela de probabilitate a unui eveniment provenită dintr-o ipoteză; o aşa numită „probabilitate condiţionată”.

            Dar iată care este situaţia în câteva limbi moderne, măcar pentru a sesiza diferenţa de nuanţă acordată cuvântului - şi care, cine ştie ? poate motiva oarecum faptul că aderenţii unei anume interpretări a probabilităţii aparţin unei şcoli „naţionale”. Bineînţeles că aceasta nu trebuie luată prea în serios.

Engleză:          Probable, Probability;

Franceză:        Probable, Probabilité;

Spaniolă:         Probable, Probabilidad;

Italiană:          Probabile, Probabilitá;

Portugheză:    Probabel, Probabilidade;

Germană:       Wahrscheinlich, Wahrscheinlichkeit (Wahr = adevărat, scheinen = a părea; deci                                     aparent adevărat)

Olandeză:       Waarschijnlijk, Waarschijnlijkheid (ca în germană)

Norvegiană:   Sannsznlig, Sannsznlighet (Sann = adevăr, synlig = aparent, deci ca în germană)

Suedeză:         Sannolik, Sannolikhet (Sann = adevăr, olik = diferit, olikhet = diferenţă, aşadar                          probabil = ceva diferit de adevăr) - Marele statistician şi probabilist Harald Cramér                                                                                era suedez !

Rusă:              Veroiatnâi, Veroiatnost' (verit' = a crede, vera = credinţă, aşadar: credibilitate)

Bulgară:          Veroiaten, Veroiatnost (ca în rusă)

Sârbo-croată: Verovatno, Verovatnost (ca în rusă)

Poloneză:        Prawdopodobno, Prawdopodobieńsrwo (prawda = adevăr, podobno = asemănător,                deci calchierea lui verisimilis)

Cehă:              Pravdĕpodobno, Pravdĕpodobnost (ca în poloneză)

Maghiară:      váloszinü, váloszinség (válo = adevărat, real, szin = aparenţă; deci calchierea lui                                     Wahrscheinlichkeit)

Greacă:                       Pzthanos, Pzthanotes (pisthein = a crede (de unde şi epistemologie), deci credibil. La                 Carneade, pythanos însemna deja verosimil)

Albaneză:        Tirzë, Pelo (?)

Arabă:             muhtamāl, Ahtimāl (ل ????) ( = demn de crezare, likely);

Japoneză:       ?????(shinransei) (shin = adevăr, rai = a se baza pe, shinrai = încredere. Deci                            „credibilitate”)

Chineză:          ?????(huóránxìng : huó = poate că; rán = a corespunde. Un fel de „posibilitate”;                                    cuvântul este folosit mai mult în filosofie. În matematică se foloseşte ????? - gài lǜ:                      gài = posibilitate (experimentală, concretă), lǜ = raport, normă, lege, deci: legea                           posibilităţilor, raportul posibilităţilor. „Probabil” se zice ????? dā gài = mare                          posibilitate. Se foloseşte şi ?????, cel din japoneză - de fapt este un cuvînt chinezesc,                       japonezii l-au preluat din chineza medievală - în pronunţia xīn lăn xìng şi înseamnă                       „încredere, credibilitate, credinţă, etc.”)

            Din analiza tabelului de mai sus rezultă clar că în majoritatea limbilor moderne sensul etimologic al cuvântului este pur subiectiv, de „aparent adevărat”, „asemănător adevărului”, „credibil”. Probabilul este o părere, în opoziţie cu lucrurile sigure. Singura excepţie o face chineza. Suedeza a simţit chiar nevoia distincţiei de „adevărat”, probabilul fiind „spre deosebire de ceea ce este adevărat”.

            De aceea, analiza semantică nu spune nimic despre sensul acordat noţiunii de „probabilitate” în ştiinţele naturii. Itaă definiţia din [13]: „Concept de bază al teoriei actuale a determinsmului care exprimă cantitativ măsura (frecvenţa) transformării posibilităţii în realitate în procesele statistice”.

            Faptul că sensul este altul decât în limbajul obişnuit nu este rău. La urma urmelor, orice teorie, în măsura în care îşi merită numele, îsi delimitează strict înţelesul noţiunilor cu care lucrează faţă de cel „liric” - cum zice P. Servien. Vom vedea, de altfel că, probabilitatea are mai multe interpretări. Pe noi ne va ineteresa în principal cea fizică, obiectivă.

§1.4. STUDIUL  UNOR  EXEMPLE

            Exemplul 1. Am pus o monedă de 5 lei pe colţul unei mese în aceeaşi poziţie iniţială şi am îmins-o cu grijă până când a căzut singură pe mochetă. Am numărat frecvenţa apariţiei stemei la serii de câte 40 de aruncări. Rezulattele şi graficul evoluţiei frecvenţei relative sunt date în Anexa 1.

            Exemplul 2. Am aruncat un zar (acelaşi pe tot parcursul experienţei) urmărind la a câta aruncare apare faţa „6”. Acest număr este considerat o probă. Am efectuat 3200 de probe şi am tabelat rezultatele după 400, 800, 1600 şi 3200 de probe. Rezultatele şi histogramele frecvenţelor sunt prezentate în Anexa 2.

            Privind figurile din Anexe se vede ceva care a şocat şi mai continuă să şocheze cercetătorul - stabilizarea frecvenţelor. Neregularitatea care apare în serii mici de probe tinde să se estompeze dacă efectuăm frecvenţa cumulată, după cum apare în Figura 1. Dacă am fi grupat cele 1000 de observaţii în 5 serii de câte 200 de probe, am fi obţinut următoarele frecvenţe ale apariţiei stemei: 97, 102, 106, 101, 101.

            Calculând raportul  unde  (respectiv ) este frecvenţa maximă (respectiv minimă) a apariţiei stemei găsim că la serii de câte 40 de probe , dar la serii de 200 de aruncări, . Faptul că acest raport devine din ce în ce mai mic pe măsură ce se măreşte volumul seriilor de experimente este numit în statistică stabiliyarea frecvenţelor. Faptul că la experienţe reluate în condiţii esenţial identice frecvenţele se stabilizează este dovedit empiric şi majoritatea îl acceptă ca atare. Chiar dacă filosoful poate avea îndoieli, experimentatorul este constrâns să creadă că, dacă experimentul ar continua la indefinit, frecvenţele relative ar coverge spre o anumită limită. Cramér arată [11'] că „în ciuda neregularităţii evidente la nivel individual, în serii lungi (long run) apare o regularitate izbitoare a frecvenţelor ... Experienţa arată că un asemenea fenomen se petrece în experienţe efectuate în serii lungi şi sub condiţii esenţial identice. Dacă, totuşi, frecvenţele rămân instabile, o analiză minuţioasă ar arăta lipsa de uniformitate a experimentului. Suntem forţaţi să credem că, dacă am continua, frecvenţa ar tinde spre o valoare ideală. O asemenea conjectură nu va putea fi niciodată verificată sau infirmată deoarece nu putem efectua o infinitate de experienţe.”

            În cazul exemplului al doilea, din Fugura 2 se vede cum apare ordinea în dispunerea frecvenţelor timpului de aşteptare până la apariţia feţei „6”. Este ca şi cum, parafrazându-l pe Hegel, necesitatea ( = ordinea) îşi croieşte drum prin întâmplare. Peste o tendinţă generală de scădere a frecvenţelor în funcţie de timpul de aşteptare, se suprapun perturbări aleatoare care devin, proporţional, din ce în ce mai mici. Evoluţia celor patru curbe creează impresia că, dacă am fi continuat experimentul, frecvenţele s-ar apropia din ce în ce mai mult de o curbă matematică, simplă, anume  cu p necunoscut. În figură este prezentată şi frecvenţa teoretică pentru . Se remarcă faptul că abaterile de la ea devin din ce în ce mai mici.

            Cred că aceste exemple au forţă coercitivă asupra majorităţii gânditorilor: există ceva care face ca frecvenţele să se stabilizeze. Creierul nostru este aşa făcut, încât dacă vedem histogramele frecvenţelor cum se apropie de ceva elegant, simplu, refuzăm să credem că acest fenomen nu are o raţiune a lui de a fi, că nu are un temei ontic. Cine ar vrea să nege stabilizarea frecvenţelor ar trebui să spună că este vorba numai de o aparenţă, că nu avem nici o garanţie că la următorul experiment vom obţine acelaşi lucru, că este ceva contingent, fără nici o valoare explicativă, un mod de a masca ignoranţa noastră în termeni savanţi. Convingerea adîncă a omului de ştiinţă, însă, este că există ceva obiectiv, ca o lege a naturii, care face curba frecvenţelor relative să se stabilizeze, indiferent dacă experienţa o face el sau altul, indiferent dacă ea se face acum sau în viitor. Împingând, principial, numărul experienţelor la infinit (adică ceva foarte mare), este firesc să conjectureze că frecvenţele relative se vor stabiliza la o valoare ideală, care apare ca o constantă fizică. În acest sens probabilitatea cred că are acelaşi statut cu cel al oricărei constante fizice. Borel scria în [4]: „Pentru fizician, probabilitatea ca un atom de radium să se dezintegreze mâine este o constantă la fel ca acceleraţia gravitaţională”.

            Probabilitatea este o idealizare a frecvenţei relative. Ea este ideală ca orice concept ştiinţific: la fel ca masa, viteza, forţa, puctul material şi gazul perfect. Ea este o mărime globală, rezumativă, o caracteristică a fenomenelor de masă (Hincin, [27]), a „colectivelor statistice” (von Mises, [38']) sau, în altă formulare (G.H.Wright, 1962, [65]), „Probabilitatea este o mărime ipotetică ataşată evenimentelor generice în tipuri de ocazii pentru apariţia lor”. În aceeaşi ordine de idei, M. Drieschner ([14], 1981) consideră „Probabilitatea nu este o proprietate care rezultă simplu dintr-un eveniment sau dintr-o situaţie experimentală, aşa cum se vede un obiect sau o culoare... Evenimentul trebuie repetat de mai multe ori şi abia atunci se poate spune doar că  sau că ; ea nu se poate estima decât dacă dispunem de posibilitatea principială a reluării probelor în acelaşi context experimental. ... Ea nu este o proprietate a unui eveniment singur, ci a unei totalităţi de evenimente”.

            Aş insista puţin asupra statutului de mărime ipotetică a probabilităţii. În trecerea de la frecvenţa relativă la ea cred că se efectuează o dublă extrapolare. Prima constă în ataşarea unei proprietăţi de grup, de masă, de colectiv, la un eveniment izolat, prin interpretarea acestei frecvenţe relative ca o măsură a tendinţei de realizare a evenimentului în contextul experimental dat. A doua derivă din aceea că probabilitatea este o modalitate a viitorului, provenită din necesităţi de predicţie: proprietatea respectivă a colectivului se extrapolează şi la viitor. Raţionamentul de asignare a probabilităţii este eminamente inductiv (nu mă refer la puţinele cazuri unde considerente de simetrie duc la ficţiunea de echiprobabilitate), pentru că saltul în viitor nu se paote argumenta matematic. Cu ajutorul acestor două extarpolări, se raţionează în genul următor: „dacă adevărata probabilitate ar fi p, şi dacă experimentele sunt independente unul de altul, atunci frecvenţa evenimentului ar trebui să fie „de obicei” în intervalul . Dacă frecvenţa observată este în acel interval accept ipoteza că probabilitatea este p; în caz contraro resping
”. Procedeul nu este ireproşabil logic, căci dacă  şi q este adevărat, nu rezultă cu necesiatte că şi p este adevărat. Dar aşa lucrează ştiinţa - prin ipoteze, iar orice asignare a unei valori numerice unei probabilităţi nu este decât o ipoteză. Sarcina statisticii constă, printre altele, de a găsi metode de verificare a acestei ipoteze.

            Noţiunea este operatorie pentru ştiinţă, în sensul că se pot face predicţii cu ajutorul ei. Partea mai greu de înţeles este că predicţiile probabiliste - predicţii de frecvenţe nu sunt nici ele sigure. Această situaţie este complet diferită de cea din mecanică, de exemplu, unde singura incertitudine asupra evoluţiei unui sistem provine din lipsa de precizie a măsurării stării iniţiale. Principiul metodologic de bază în aplicarea teoriei probabilităţilor în ştiinţe este că ceea ce este prea improbabil, în cadrul modelului, pur şi simplu nu se întâmplă. Ce înseamnă „prea improbabil” este de competenţa ştiinţei particulare respective. Fără acest principiu, orice  teoremă  de  probabilităţi şi-ar pierde orice sens. Nu este imposibil ca la 1000 de aruncări ale monedei să apară numai stema, acest lucru nu ar contrazice nici o lege a fizicii. Totuşi este o certitudine practică faptul că acest lucru nu se întâmplă.

            Pe scurt: probabilitatea este o idealizare a noţiunii de frecvenţă relativă cu ajutorul căreia, şi al premizei că ceea ce este prea improbabil nu se întâmplă, se poate explica faptul real al stabilizării frecvenţelor. Interpretarea ei ca „măsură obiectivă a posibilităţii unui eveniment” nu o văd posibilă decît prin frecvenţă. În ceea ce priveşte însă modul în care trebuie formulată matematic această interpretare a probabilităţii prin frecvenţă, sunt multe puncte de vedere. Primul,  mergând  pe  linia J. Venn - von Mises - Wald - Reichenbach preferă să definească probabilitatea ca limiă a frecvenţelor relative, limită postulată ca existând. Al doilea, susţinut de Kolmogorov, Hincin, Cramér, Onicescu, preferă să o definească drept o valoare în jurul căreia oscilează frecvenţele relative la serii mari de probe.

            În lucrarea fundamentală [19'], 1933, Kolmogorov scria în legătură cu aplicarea teoriei probabilităţilor la relaitate, următoarele:

            „Teoria se aplică la lumea reală de evenimente în modul următor:

1. Se presupun date un număr de condiţii G care permit repetarea experienţei de câte ori este nevoie.

            2. Studiem o mulţime definită de evenimente care pot apărea în virtutea condiţiilor experimentale G. ... În mulţimea aceasta includem taote variantele pe care le presupunem apriori posibile.

            3. În anumite condiţii, ..., putem presupune că unui eveniment A care se poate întâmpla în condiţiile G i se ataşează un număr pozitiv  cu următoarele caracteristici: a) Practic, este sigur că dacă complexul de condiţii G este repetat de un număr mare de ori, n, frecvenţa relativă a apariţiei lui A nu diferă decât cu foarte puţin de , şi b) Dacă  este foarte mic, practic este sigur că dacă experimentul se face o singură dată, evenimentul A nu se va produce.”

            Puţin mai târziu, autorul mai face următoarea precizare, care poate să inducă în eroare: „Dacă evenimentul A este imposibil, . Reciproc nu este adevărat: dacă , nu rezultă neapărat imposibilitatea lui A”. Probabil că autorul se referă la posibilitatea teoretică a producerii lui A. Din moment ce o probabilitate foarte mică, nu neapărat 0, antrenează imposibilitatea practică a producerii evenimentului (exemplul cel mai spectaculos în acest sens este cel cum maimuţele dactilografe dat de Borél în [5]) mi se pare mai corect ca, în aplicarea teoriei probabilităţilor într-un model fizic, probabilitatea nulă să se identifice cu imposibilitatea în cadrul modelului a producerii evenimentului respectiv.

            Acesta mi se pare a fi şi punctul de vedere al lui Dreischer ([14]) când scrie: „Problema legăturii între  şi posibilitatea lui A este trimisă, în tratatele moderne de teoria probabilităţilor, la exerciţii: se observă că de multe ori  nu implică imposibilitate şi gata. ... Prin această interpretare apar greutăţi conceptuale formidabile care se depăşesc foarte greu”. La fel consideră şi G. Bodiou [3] care spune „Singura interpretare inteligibilă este   a este fals şi   a este adevărat”. El propune un sistem axiomatic („teoria dialectică a probabilităţilor”) apărut din necesităţile fizicii actuale în care, la variabile aleatoare continui (de exemplu locul de cădere al unei pietre) propoziţia „X = a” nu este considerată nici adevărată, nici falsă ci fărăr sens. De exemplu, în formalizarea obişnuită, locul în care un proiectil nimereşte ţinta este considerată o variabilă aleatoare repartizată normal. Atunci probabilitatea lovirii oricărui punct este 0, şi totuşi glonţul nimereşte cu siguranţă undeva; evenimentul sigur se compune din o infinitate nenumărabilă de evenimente de probabilitate nulă, sau necesarul se compune dintr-o mulţime de imposibilităţi. Dar, dacă analizăm mai atent, propoziţia „proiectilul a lovit punctul x” nu are nici un sens fizic. Întâi că proiectilul nu este un punct, ci un macroobiect, nici nu este vorba de proiectil, ci de, să zicem, centrul lui de greutate. Dar în acest caz, afirmaţia are tot atât sens cât „lungimea acestui băţ este de x metri”,a dică, stricto sensu, nici unul: sens fizic nu pot avea decât afirmaţii de genul „lungimea acestui băţ aprţine intervalului ”.

            Problema probabilităţii p începând de la care evenimentul începe să fie practic imposibil este destul de delicată şi ţine, în mare măsură de convenţie. În principiu este vorba de sistemul de referinţă, de numărul de probe care se fac. Un sistem de n probe este tot o probă unică, dacă studiem frecvenţa frecvenţelor. Să zicem că o asemenea probă mare se efectuează într-o secundă; vârsta medie a unui om este de ordinul a  secunde. Dacă  şi este vorba de aruncări cu banul, probabilitatea unui şir de 100 de steme este , sau ceva de ordinul . Dacă un încăpăţânat, înzestrat cu maşini ultraperfecţionate capabile să execute şi să contabilizeze serii de 100 de aruncări cu banul o dată pe secundă s-ar lansa într-un experiment care s-ar închieia odată cu apariţia unei serii de 100 de steme, probabilitatea ca evenimentul să se întâmple înaintea de moartea lui ar fi de ordinul lui ; pentru comparaţie, diametrul sistemului solar este mai mic decât  microni. Dacă maşina ar continua singură experimentul, probabilitatea ca evenimentul să apară înainte de un miliard de ani ar fi mai mică decât 1%. Un asemenea eveniment nu poate fi gândit decât ca riguros imposibil.

            În legătură cu folosirea frecvenţelor drept interfaţă teorie - existenţă, Hincin scria [27] „Suntem cu toţii de acord că probabilitatea unui eveniment trebuie să fie apropiată de frecvenţa lui la un număr mare de probe... Nici un curs serios de teoria probabilităţilor nu poate evita să arate limpede de la bun început necesitatea acestei interpretări prin frecvenţa probabilităţii unui eveniment. Intuim cu toţii corect semnificaţia reală a oricărei teoreme şi oricărei probleme de probabilităţi numai substituind probabilităţilor tuturor evenimentelor frecvenţele corespunzătoare”. De exemplu -arată I.V. Sacikov în [31]: „Ce înseamnă afirmaţia că probabilitatea ca un electron să nimerească într-un anumit punct al unui ecran situat în spatele unei reţele de difracţie este p ? ... Ea arată doar ce parte din numărul tottal de electroni de difractaţi nimereşte în regiunea considerată a suprafeţei ecranului. Fără a ţine seama de ... acest ansamblu, afirmaţia ... că electronul posedă o anumită probabilitate nu poate fi înţeleasă”.

            Pentru a aplica aparatul probabilistic unei mulţimi date, trebuie ca ele să posede un minimum de stabilitate a frecvenţelor.Hincin [27] este foarte categoric în această privinţă: „Dacă o experienţă ”îndelungată ne-ar arăta că diversele serii de acest fel (aruncări cu zarul, n.n.) frecvenţa căderii feţei cu 5 puncte este foarte diferită, am trage pur şi simplu concluzia că noţiunea de probabilitate este inaplicabilă acestui eveniment”.

            În legătură cu conexiunea dintre frecvenţă şi probabilitate, O. Onicescu ([44], pg.5) afirmă „Frecvenţele pe care le oferă experimentarea fizică ... cu înregistrările ei atatistice, au constituit, cu von Mises în special, substratul unei teoretizări care însă s-a revărsat în matca bogată şi cuprinzătoare a teoriei clasice, îmbogăţindu-i substanţial baza fenomenologică.

Pentru nici una dintre direcţiile de gândire precedente probabilitatea nu corespunde direct unei existenţe ca atare: ea este un simbol matematic cu care întâmpinăm sau caracterizăm direct sau indirect, evenimente aleatoare.”

            În estimarea probabilităţilor din frecvenţe este esenţial conceptul de indepenţă a probelor (formularea Kolmogoroviană ???). Noţiunea are în teoria probabilităţilor un sens riguros, bine definit: evenimentele A şi B sunt independente dacă . În asigurarea practică a interfeţei teorie - realitate, trebuie lămurită legătura între noţiunea fizică de independenţă şi cea probabilistică. Independenţa fizică a două evenimente presupune că nu este nici o legătură cauzală între ele. Dacă două colective statistice, unul care produce evenimentul A şi celălalt care îl produce pe B sunt independente, atunci frecvenţa relativă a lui A trebuie să fie aproximativ aceeaşi dacă vom condiţiona relaizarea lui A de realizarea lui B. sacikov, analizând această noţiune scrie [31]: „Distribuţia statistică ce ne perimte să legăm teoria de realitate se formează ca rezultat al nimeririi particulelor pe ecran după ce au acţionat cu reţeaua de difracţie. Această distribuţie poate fi obţinută în două moduri diferite: fie îndreptând spre reţeaua de difracţie direct un fascicul de microparticule şi observând distribuţia lor pe ecran după interacţiunea lor cu reţeaua, fie îndreptând spre reţeaua de difracţie particulele una câte una şi observând iarăşi distribuţia pe ecran a unui număr destul de mare de particule. În ambele cazuri, repartiţia va fi aceeaşi: ea este legată de indepenţa comportării membrilor ansamblului probabilist: rezultatul interacţiunii unei particule cu reţeaua.” Acelaşi autor precizează mai departe că, în condiţiile unui experiment practic, „nu trebuie să absolutizăm această noţiune (de independenţă, n.n.). Independenţa înseamnă numai că pentru legile pe care le reflectă metodele teoriei proabbilităţilor sunt neesenţiale interacţiunile dintre componentele respectivelor subansamble.”

            Vorbind despre interpretarea noţiunii de independenţă în practică, Kolmogorov arăta, în aceeaşi ordine de idei, că: „Sub aspect filosofic ar fi poate mai corect să nu vorbim de independenţă, ci despre lipsa de importanţă a anumitor dependenţe în condiţiile concrete date ”.

Drieschner, care propune o axiomatizare a teoriei probabilităţilor dedusă din necesităţi ale fizicii. Defineşte probabilitatea ca fiind „frecvenţa relativă prevăzută” ([14]; vezi şi la §2.3) defineşte independenţa la A şi B prin „frecvenţa prevăzută a lui A va fi aceeaşi, indiferent de faptul dacă se întâmplă B sau non-B”. În legătură cu definiţia clasică, scrie (IV.5.e): „Pentru Kolmogorov (1933) independenţa este o chestiune de definiţie. Abordarea este consecventă din punct de vedere matematic, dar din punctul de nostru de vedere nu ne satisface. Căci noi asociem cu independenţa experimentelor deja o reprezentare precisă, înainte de a avea la îndemână o axiomatică probabilistă”.